定義
まず，格子(lattice)とは，non-degenerate integral symmetric bilinear form のことをいう．
格子上のhomomorphismとは，群準同型かつformを保つものとし，
格子上の同型写像（isometry）とは，群の同型かつformを保つものとする．
φが格子L上の対合であるとは，homomorphismであって，φoφ=id_Lなること．
格子Lとその上の対合φの対(L, φ)を対合付き格子と呼ぶ．
定義(Nikulin)
偏極対合付き格子 (polarized integral involution) とは，triple
(L, φ, h)
で，L はunimodular lattice，φは格子L上の対合， h ∈ L， φ(h)=±h
なるものである．
p.136
Example 3.1.2
A を nonsingular projective algebraic variety of even dim k over R とする（曲面，4-folds など）．
A(C) をそのcomplex point の集合とし，
H_k(A(C)) = H_k(A(C) ; Z)/tor
とおく．intersection form により， H_k(A(C)) はunimodular latticeである．(unimodularであることは，Poincare dualityより)
簡単のため，k=2 とする．
h ∈ H_2(A(C)) をhyperplane section のhomology class とすると，
conj_*(h) = -h
である．また，h^2 ＞ 0 である． （ここで，h はprimitiveとは限らない）
すると， 偏極対合付き格子(polarized integral involution)
(H_2(A(C)), conj_*, h)
を得る．
p.137
さて，以後，polarized integral involutions (L, φ, h) の分類を考えていくが，
h^2 ＞ 0，φ(h) = -h であるものを分類すれば十分である．
また，h を適当な自然数 k(h) で割ると，primitive in L となる．
この自然数 k(h) は (L, φ, h) のgenus invariant ("種"の不変量) である．
polarized integral involutions (L, φ, h) に対して，
L_+ = {x ∈ L | φ(x) = x }，
L_- = {x ∈ L | φ(x) = -x }，
とおく．（これらは，互いに直交補空間であることに注意）
L_+上のsignatureを (t_(+), t_(-)) とおく．
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以後，polarized integral involutions (L, φ, h) に対して，
L はunimodularかつevenで，signature (3, 19)，
h^2 ＞ 0， φ(h) = -h， h は Lの中でprimitive, t_(+)=1 (RSK3)
と仮定する．
（注 Nikulinの原論文よりも，強い条件を課した）
（明らかに，L_-上のsignatureは，(2, 19-t_(-)) となる）
さて，以下のように，polarized integral involution (L, φ, h) のgenus invariants を導入する：
n ：= h^2 (positive even integer)，
L_+ のdiscriminant group は Z/2Z のいくつかの直和に同型となるが，
a 個の直和だとする．
δ_h = 0 if h・x ≡ 0 (mod 2) for ∀x ∈ L_-
1 otherwise
δ_φ = 0 if x ・φ(x) ≡ 0 (mod 2) for ∀x ∈ L
1 otherwise
δ_{φh} = 0 if x ・φ(x) ≡ x ・ h (mod 2) for ∀x ∈ L
1 otherwise
と定める．
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定理3.3.1
polarized integral involutions (L, φ, h) で (RSK3) を満たすものに対し，
(n, t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh})
は， (L, φ, h) のgenusを決める．
ある場合（原論文参照）には，isomorphism class も決める．
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定理3.4.3
polarized integral involutions (L, φ, h) で (RSK3) を満たすし，不変量
(n, t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh})
を持つものが存在するための必要十分条件は，
次のすべての条件：
I. Parity relation on L
n は偶数である．
II. Basic inequalities:
t_(-) ≦19
a ≦ min {1+t_(-), 21-t_(-)}
III. ・・・・・・不等式，合同式など（原論文を参照のこと）
IV. ・・・・・
V. ・・・・・・
VI. ・・・・・・
VII. ・・・・・・
を満たすことである
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注意：
●定理3.4.3を用いて，polarized integral involutions (L, φ, h) で(RSK3)
と h^2 =n を満たすものに対して，不変量
(t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh})
の取り得る値がすべてわかることになる！
すなわち，すべてのgenera (同型類より少し広い同値類) を数え上げることができる．そして，少しの例外を除いて，多くのgenus は同型類と一致している．
●定理3.10.1 のbijectiveな対応によれば，
Μ_{n,k}(R)に属する偏極実K3曲面に対して，そのassociated polarized integral involution の不変量 (t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh}) の取り得る値がすべてわかることになる．
すると，不変量 t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh} それぞれの位相的解釈がわかっていることから，
Μ_{n,k}(R)に属する偏極実K3曲面の位相的性質がわかることになる！