(Last updated 2009/5/21)
K3曲面の定義は、論文によって違っていることが多い。K3曲面の定義が確定していない時代があった。
現在ならば、[BHPV]のp.323から読むのが良い．K先生のご助言によると，「[BHPV]だけで完結している．見通しは一番良い．K3曲面の理論は、「K3曲面の特殊性」を多く用いているため、他には適用が難しい理論である．定理の証明よりも，「主張」 （鏡映群とその基本領域など）をまずはきちんと理解すること．
Y先生のご助言によると，[Asterisque126] Séminaire Palaiseau, Géométrie des surfaces K3: modules et périodes, Astérisque 126, Soc. Math. France (1985).がお薦めである．大変よく解説されているとのこと．複素微分幾何的な方向からも書いてある．
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[BHPV]の内容(K3曲面に関する部分)は以下のとおり：
7. The local Torelli Theorem for K3 surfaces
8. A Density theorem
9. Behaviour of the Kaehler cone under deformations
11. The Torelli theorem for K3 surfaces
12. Construction of moduli spaces
13. Digression (脱線) on Quaternionic structures
14. Surjectivity of the period map
22. Projective K3 surfaces and Mirror symmetry (→Dolgachevの仕事について)
K3曲面のモジュライと周期の研究の歴史 p.371の注意より和訳すると：
K3曲面の変形を，正則2-形式による「周期」を通して研究するアイディアは，Andredtti と Weil による．
The local Torelli property は彼らによるものである（しかし，unpublished）．
証明は，任意のK3曲面に対してはKodairaによってなされ，ケーラー性を仮定してG.N.Tjurinaによってなされた．
以下の有名な仮説があった：
(i) すべてのK3曲面は，ひとつの連結な族をなす．
(ii) すべてのK3曲面はケーラーである．
(iii) K3曲面の周期写像は全射である．
(iv) the global Torelli theorem の１つの形（AndreottiとWeil により定式化されたもの[Wei80]）が成り立つ．
WeilによるK3曲面の定義は我々[BHPV]のものとは違う．
彼は，P^3の中の非特異4次曲面の微分構造を持つものをK3曲面と呼んでいる．
我々（[BHPV]）のK3曲面の定義に従うならば，
予想(i)は，KodairaとG.N. Tjurina により独立に証明された（[Ko66] part I, Theorem17 および [Saf]ChapIX,Theorem7）．
ただし，G.N. Tjurina はケーラー性を仮定している．
予想(ii)は，Siuにより証明された(1983)が，
我々[BHPV]は，この結果を用いずに，「b_1が偶数ならばケ－ラーである」という事実により証明した．
予想(iv)は，projective (algebraic) K3曲面の場合に，Piateckii-Shapiro and Safarevic [Pi-S]により肯定的に解かれた．しかし，彼らの証明は原理的に正しいがいくつかの欠陥と誤りを含む．そのうちのいくつかは，かなり深刻である．これらは，後に，M. Rapoport により修正された．独立して，塩田徹治 ([Shi]) も修正した．しかし，これらは，完全な形では公表されていない．もとの証明の詳細に訂正されたaccount (説明) は，[L-P]にある．そして，その中に，Burns and Rapoport によるケーラーK3曲面の周期写像に対しsimplifyされたバージョンが与えられている（[B-R]）．
予想(iii)は，最初に，projective K3曲面の特別なクラスに対して，Shah [Sha76],[Sha80],[Sha81]により，また，独立に，堀川[Ho77]により解かれた．そして，V.Kulikov[Kul]が，（制限なしに）projective K3曲面に対する証明を与えた．しかし，彼の証明は多くの点で明確化を要する．それは，Persson Pinkham [P-P]により与えられた．
Sect.13で述べたように，Atiyah-Hitchin-Yauの結果を本質的に用いて，A. Todorov [To]が，ケーラーK3曲面に対する周期写像の全射性の証明を与えた．
我々[BHPV]の証明は，projectiveK3曲面に対する全射性は使わずに，Looijenga[Lo](1981)によっている．
参考文献：
[Ad] A. Andreotti, On the complex structure of a class of simply connected manifolds in
Algebraic geomery and Topology, Princeton Univ. Press (1957), 58--77.
[Ko66] Kodaira, On the structure of complex analytic surfaces I, American J. Math. 86 (1964), 751--798.
[Saf] I.R. Shafarevich et al., Algebraic surfaces, Proc. Steklov Inst. Math,75 (1965).
G.N. Tjurina, The space of moduli of a complex surface with q=0 and K=0,
Chapt. IX in [Saf]. ケーラーが仮定されている．
[Wei80] A. Weil, Collected papers, Springer 1980.
[Pi-S] I.I. Piateckii-Shapiro, I.R. Shafarevich,
A Torelli theorem for algebraic surfaces of type K3,
Math. USSR Izvestija, 5-3 (1971) 547--588.
[B-R] D.Burns and M.Rapoport,
On the Torelli problem for Kaehlerian K3 surfaces,
Ann. sci. Ec. Norm. Sup. IV ser.8 (1975), 235--274.
[Sha76]
[Ho77]
[Kul] V. S. Kulikov, Surjectivity of the period mapping for K3 surfaces (in Russian),
Uspekhi Mat. Nauk 32, no. 4 (1977), 257--258.
[Shi] T. Shioda, The period map of abelian surfaces, J. Fac. S. Univ. Tokyo 25 (1978), 47--59.
[L-P] E. Looijenga, C. Peters, Torelli theorems for Kaehler K3 surfaces, Compositio math. 42 (1981), 145--186.
[P-P] U. Persson and H. Pinkham, Degeneratin of surfaces with trivial canonical bundle, Ann. Math. 113 (1981), 45--66.
[Lo] E. Looijenga, A Torelli theorem for Kaeler-Einstein K3 surfaces, in Geometry Sympos. Utrecht 1980, Springer, L.N. in Math 894 (1981) 107-112.
[To] A. Todorov, Application of the Kaehler-Einstein-Calabi-metric to moduli of K3 surfaces, Invent. Math. 81 (1982), 251--304.
その他参考文献：
I.I. Piateckii-Shapiro, I.R. Shafarevich,
The arithmetic of K3 surfaces,
Proc. Steklov Inst. Math., 132 (1973), 45--57.
V. S. Kulikov,
Degenerations of K3 surfaces and Enriques surfaces,
Izv. Akad. Nauk. SSSR, Ser. Math. 41 (1977), 1008--1042.
Math. USSR Izv. 11 (1977), 957--989.
[浪川] 浪川幸彦，
城崎シンポジウム報告集 1980．
Y.-T. Siu,
A simple proof of the surjectivity of the period map of K3 surfaces,
Manuscripta Math. 35 (1981), 311--321.
Y.-T. Siu,
Every K3 surface is Kaehler,
Invent. Math. 73 (1983), 139--150.
Namikawa, Y.,
Periods of Enriques surfaces,
Math. Ann. 270 (1985), 201--222.
Ken-Ichi Yoshikawa,
K3 surfaces with involution, equivariant analytic torsion, and automorphic forms on the moduli space, Invent. Math. 156 (2004), 53--117.