X=(X,p,S)を Vのsmooth deformation with base point s_0 とするとき，
a homomorphism
ρ_ X : T_S(s_0)→H^1(V,T_V)
が，[BHPV, p.38]のように定義される．これを，
Vのdeformation X のthe Kodaira-Spencer map と呼ぶ．
次の定理は，Kodaira and Spencer による古典的結果である．
（Kodaira and Spencer, A theorem of completeness for complex anlytic fibre space, Acta Math. 100 (1958), 281--294.）
Theorem 10.7
smooth deformationがcomlpeteであるための必要十分条件は，the Kodaira-Spencer mapがsurjectiveなことである．
注意
X がcomplete deformationで，そのKodaira-Spencer mapがisomorphismならば，Xは versal deformation であることがわかる．
complete smooth deformation が与えられると，上の定理よりそのK-S map は surjectiveであるが，base space を smooth subspace に取り直して，K-S map をisomorphismにできる．上の定理より，このdeformationもcompleteである．より，これはversal deformationである．以上により，complete smooth deformation が存在すれば，K-S map がisomorphismであるようなversal smooth defromationも存在することがわかる．
（以上は，[BHPV] Chapter I §10 Deformations of complex manifolds p.38 にもとづく）