等差数列の一般項と和

履修学年：高校2年

「規則的に並べられた自然数の和を求める工夫」の続きです。

初めて「初項」「末項」「公差」などの用語をご紹介致しますが、
問題文で頻用されるものですので、しっかり覚えておきましょう！！

考え方は、「連続する自然数の和」と全く同じです。
（1からnまでの連続する自然数も、初項1・末項n・公差1・項数nの等差数列と解釈できますからね！！）

「初項」「末項」「公差」がたとえいくつであれ、
第n項は、(初項)＋(n－1)×(公差)で、
第n項までの和は、{(初項)＋(末項)}÷2×(並べられた項の個数)で、
それぞれ算出できることを確認してみましょう！！





ここまで簡単に計算できるのは「等差数列」だからこそなのです！！
「等比数列」(第n項が初項にある決まった値をn－1回かけて導出される数列)の場合はどうでしょうか？？
本題とはまた別の、循環小数を分数に変換する考え方を利用した鮮やかな方法があるのです！！

（循環小数を分数に変換する考え方につきましては、自作数学問題botの問題29の出だしでご紹介致しております。）
【問題29】次式が整数となるような自然数nの条件を求めよ。


等比数列の和を求める具体的な手順につきましては、追って解説をアップロード致します。

絶対値記号の扱い方

履修学年：高校1年

絶対値という用語を、中学1年の数学で履修します。
この絶対値の意味は「その値が、0からどれだけ離れているか」すなわち「絶対値は距離」なのですね。
「距離」である以上は、負の値を使ってはいけない、だから、マイナスの記号が外れるのです！！
しかし、ただ単に、マイナスの記号をプラスに変えればいいというものではありません！！

絶対値を求めたい値が、式で表されている場合、例えば「3－2の絶対値」を「3＋2」すなわち「5」とはできないのです！！
こういう場合は計算の結果を優先して、3－2＝1なので、「3－2の絶対値」は、「1の絶対値」すなわち「1」
これで正解なのです！！

本題でご紹介致します、「絶対値記号」という｜｜で表された記号は、この棒にはさまれた値や式の絶対値を示すものなのです。




絶対値記号に、文字が含まれている場合は、
勝手にその文字を「いくつ」と決められない以上、場合分けもやむなしですね。
絶対値記号を伴う方程式や不等式につきましても、追って解説をアップロード致します。

規則的に並べられた自然数の和を求める工夫

履修学年：高校2年
（学科として履修するのは高校2年ですが、中学受験などの入試問題にも採り入れられており、発想次第で小学校で履修する算数の範囲で解答可能です。）

平均という概念は、小学校の算数で履修します。
平均から合計を算出できるというのも、中学1年の数学で履修します。
これを使って、規則的に並べられた自然数の和を工夫して求められないかな…？と思いませんか？

できるのです！！

「一定の割合で増加する整数の集まりは、その最小値と最大値の和を2で割ることで求められる。」
これを知っていれば、かなり要領よく、かなり理屈を実感しながら、計算することが可能です！！





本題の後半でご紹介致しました、連続はしていないけれども、一定の割合で増加もしくは減少する整数の列を、「等差数列」といいます。

「等差数列」の和は、
「最初の値」(初項といいます。)「最後の値」(末項といいます。)、項の個数が全てわかれば、平均と合計の関係を利用した考え方から求められるということですね。

公式につきましては、本題では「連続した自然数の和」と「連続した奇数の和」の場合に限定してご紹介致しましたが、一般性を失わないものにつきましても、追って解説をアップロード致します！！