フォロワー様からの挑戦状・その3

Twitterで相互フォローをして頂いている方（ご本人様の希望により、匿名と致します。）から、再び挑戦状が届いたので解いてみました！！

解答作成日：2015年7月9日
テーマ：三角形の内心の性質
履修学年：
中学1年(接線の性質)
中学2年(二等辺三角形の内角・凹四角形の性質・合同の証明)

三角形に内接する円の中心を「内心」と言いますが、
その内心から三角形の各頂点を結んだ線分は各々の内角を二等分することの証明を本題でご紹介致しております。

それでは、逆は…？
三角形の内角を二等分する直線は、その三角形の内心で交わるか…？ですね。
バッチリ、成り立ちます！！

これも併せて、本題でご紹介致しております！！

内心の位置がはっきりしたおかげで、だいぶ展望がはっきりしてきましたね。






三角形の内角の和が180°であること、三角形の外角がその外角と隣り合わない内角2個の和と等しいことは、本題では証明を割愛させていただきましたが、リクエストがございましたら、追って解説をアップロード致します。

解説アップロードのリクエストをお待ちしております

当ブログでは、数学・物理・情報関係学科の様々な単元・問題の解説を、読者の皆様のリクエストに応じてアップロードしております。
以下に「優先単元」を列挙しておりますが、小学・中学・高校の各学年で履修する単元には、全てご対応致します。

【優先単元】

小学校で履修する単元
・　最小公倍数、最大公約数の定義と求め方
・　道のり、速さ、時間の関係
・　％の扱い方(人数などの増減、商品の値段、濃度など)

中学1年で履修する単元
・　文字を使った規則性の表現
・　円柱、円すいの展開図と表面積の計算

中学2年で履修する単元
・　三角形の合同条件
・　二等辺三角形及び平行四辺形の性質
・　等積変形
・　確率

中学3年で履修する単元
・　三角形の相似条件
・　直角三角形の斜辺はその外接円の中心を通ることの証明
・　関数と方程式のつながり(直線と放物線の交点)
・　三平方の定理

高校1年で履修する単元
・　場合の数と確率(パーミュテーション記号とコンビネーション記号の定義と利用)
・　チェバの定理、メネラウスの定理
・　合同式の利用

高校2年で履修する単元
・　角度の度数法と弧度法の相互性
・　tan(α＋β)の加法定理の証明
・　微分の基本的定義と公式
・　積分の基本的定義と公式
・　∑記号の定義と数列の和
・　ベクトル

高校3年(理系課程)で履修する単元
・　合成関数と逆関数
・　極限と無限級数の和
・　複素数平面
・　媒介変数
・　微分の基本的定義と各種公式
・　積分の基本的定義と各種公式
・　行列

高校で履修する単元の発展的分野
・　2変数関数の最大値及び最小値
・　隣接3項間漸化式を行列を用いて解く
・　四次方程式(三次項を消去して解く手法)

解説アップロードのリクエストがございます場合は、当ブログのコメント欄・TwitterでのReplyもしくはDM・ホームページを経由した電話もしくはメールなど、どのような形でもお気軽にご一報いただければ、空いたお時間を利用してご対応致します。

ユークリッドの互除法

履修学年：高校1年

「倍数」、「公倍数」、「最小公倍数」
「約数」、「公約数」、「最大公約数」
これらは全て、小学校5年で履修する概念ですが、いざ説明してみると、高校生や大学生にも、なかなか難しい…。

それだけ、考え方が多岐に亘り、計算が煩雑な単元なのです。
本題では、その中でも特に多くの人々の頭を悩ませる「最大公約数」を、
大幅に手間を省いて求められる、「ユークリッドの互除法」をご紹介いたします！！

一般的な方法は、2つの数の「約数リスト」を作って、両方のリストにあるうちの最大の数を「最大公約数」としますね。
これでは、列挙し忘れた約数があったら「投了」ですね。

そのリスクも、この「ユークリッドの互除法」で、回避できるのです！！

「ユークリッドの互除法」を言葉でご説明致しますね。

自然数2個の最大公約数は、大きい方の数を小さい方の数で割って、
余りが生じる場合、小さい方の数と余りの最大公約数と一致し、
余りが生じない場合、小さい方の数自体が最大公約数となる。

…実際に、確かめてみましょう！！





証明の段階で、文字をずいぶんたくさん使ってしまいましたが、
まずは適当な2つの数の最大公約数をこの方法で求めてみて、
「約数リスト」を作る方法と比較して、その便利さを実感してみましょう！！

ちなみに、本題で最大公約数のことを「G.C.M.」と表記していますが、
これは「Greatest Common Measure」という英語の略であり、「G.C.D.」もしくは「G.C.F.」と表す場合もあるのです！！
ちなみに、最小公倍数は「L.C.M」(Least Common Multiple)と表記します。

ちょっとした雑学、失礼いたしました…。