以前の記事の続きです。
三角形を回転させたとき通過する面積を求めるという問題です。
AB=BC=4cmの直角二等辺三角形ABCについて、次の各問いに答えなさい。（豊島岡2024第3回）
⑴ 下の＜図1＞のように、三角形ABCを点Aを中心に反時計回りに90°回転させると、点Bは点Q、点Cは点Rに重なりました。このとき、三角形ABCが通過した部分の面積は何㎠ですか。
三角形ABCが通過した部分は2つに分けられて、❶△ABCと❷ACを半径とする四分円をくっつけた形になる。
それぞれ面積を求めると
❶△ABC…4×4÷2＝8㎠
❷ACを半径とする四分円…AC×AC×3.14÷4で求められる
- ここでACの長さは出せないが（正方形の面積は対角線×対角線÷2としても出せるからABをたて、BCを横、ACを対角線とする正方形を考えると）AB×BC＝AC×AC÷2よりAC×AC＝32㎠とわかる
- したがって四分円の面積は 32×3.14÷4＝25.12㎠
よって三角形ABCが通過した部分の面積は8+25.12＝33.12㎠
⑵ 下の＜図2＞のように、3点A、B、Cを頂点とする正方形の残りの頂点をDとします。三角形ABCを点Dを中心に反時計回りに90°回転させると、点Aは点Cがもともとあった点P、点Bは点Q、点Cは点Rに重なりました。このとき、三角形ABCが通過した部分の面積は何㎠ですか。
三角形ABCが通過した部分は次のように❶真ん中はDBを半径とする四分円から半径がDBの半分の長さの四分円を取りのぞいた形、❷両はしはどちらも△ABCを半分にした形になる。それぞれ面積を求めると
- ❶真ん中…DBを半径とする四分円の面積は（DB=ACより）小問⑴で求めた25.12㎠。ここから取りのぞく四分円は、半径がDBの½だから、面積は¼。こうして残る面積は 25.12×(1－¼)＝18.84㎠
- ❷両はし…2つ合わせて△ABCの1つ分だからその面積は 4×4÷2＝8㎠
よって三角形ABCが通過した部分の面積は18.84+8＝26.84㎠
⑶ 下の＜図3＞のように、⑵の正方形ABCDと1辺の長さが4 cmの正方形を3個用いて、大きい正方形をつくります。三角形ABCを大きい正方形の頂点Eを中心に反時計回りに90°回転させると、点Aは点P、点Bは点Q、点Cは点Rに重なりました。このとき、三角形ABCが通過した部分の面積は何㎠ですか。
三角形ABCが通過した部分は次の赤の図形になる。ここでアとイは合同だからアをイに等積移動してみると結局、この図形は❶△ABC(8㎠)、❷EBを半径とする四分円からECを半径とする四分円を引いた形、の2つに分けて求めることができる
そこで❷EB、ECを半径とする四分円の面積をそれぞれ計算すると
- EBを半径とする四分円…EBの長さは出せないがEB×EBは正方形ABCDの5個分（下図のとおり）だから4×4×5＝80㎠とわかる。するとこの四分円の面積は 80×3.14÷4＝62.8㎠
- ECを半径とする四分円…小問⑴で求めた25.12㎠
したがって❷の面積は62.8－25.12＝37.68㎠
よって三角形ABCが通過した部分の面積は8+37.68＝45.68㎠ 
