以前の記事の続きです。
速さの分野でも有数の難テーマである坂道問題をあつかった今年の出題例です。
AからBまでは上り坂、BからCまでは平らな道、CからDまでは下り坂となっている登山コースがあります。花子さんはA地点から、よし子さんはD地点から同時に出発したところ、1時間45分後に花子さんが平らな道を⅚だけ進んだところで2人は出会いました。また、花子さんがD地点に着いた5分後によし子さんがA地点に着きました。 2人はどちらも上り坂を時速1.5km、平らな道を時速3km、下り坂を時速2kmで進みます。このとき、次の問いに答えなさい。（洗足2024）
⑴ よし子さんがB地点に着いたのは、花子さんがC地点に着いてから何分後ですか。
「花子さんがD地点に着いた5分後によし子さんがA地点に」着いた。
- 2人は同じ速さで、距離的にも同じだけ進んだのによし子さんが5分よけいにかかったのはCD間の一部
を上ったか（よし子）下ったか（花子）のちがいによるもの
- そこでにかかる時間を考えると「上り坂を時速1.5km、…、下り坂を時速2kmで」歩いたので（速さの比1.5km：2km＝3：4の逆比で）かかる時間の比は上り：下り＝④：③。この差①が5分だからの上りに20分（＝5×4）かかった
よって（
の分だけよけいに時間を使った）よし子さんがBに着くのは花子さんがCに着いた20分後
⑵ 花子さんがA地点を出発してからD地点に着くまでに何時間何分かかりましたか。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。
2人が出会った場所✖は「花子さんが平らな道を⅚だけ進んだところ」なのでBから✖までの距離を⑤、Cから✖までの距離を①とする。このとき
- よし子さんはBまであと⑤、花子さんはCまであと①だから進む距離の差は④。そしてよし子さんがBに着くのは花子さんがCに着く20分後（小問⑴）だから2人は平らな道を①進むのに5分かかる
- すると2人が出会ったのは出発して「1時間45分後」（＝105分後）だから2人はそれぞれ次のように進んだことがわかる
- ここで花子さんがこのあとDに着くまでにかかる時間を考えると❶Cまで5分、❷CD間は上り100分の距離だから（小問⑴で求めたようにかかる時間の比は上り：下り＝4：3だから）下りで75分かかる
よって花子さんがA地点を出発してD地点に着くまでにかかる時間は
80+25+5+75＝185分＝3時間5分
⑶ 2人はしばらく休んだ後、再び同時に出発し、来た道を戻(もど)りました。しかし、途(と)中で雨が降り始めたため、すぐに花子さんは残りの上り坂と平らな道を進む速さだけ⁶⁄₅倍にしました。また、よし子さんは下り坂を進む速さだけ⁵⁄₄倍にしたところ、花子さんがA地点に着くと同時によし子さんがD地点に着きました。雨が降り始めたのは2人が再び出発してから何分後ですか。
まずよし子さんの帰り道の様子を考えると
- AからB…80分（行きの花子さんと同じ）
- BからC…30分（行きの花子さんと同じ）
- CからD…「下り坂を進む速さだけ⁵⁄₄倍に」なった（時速2km×⁵⁄₄＝時速2.5kmになった）からかかる時間は行きの花子さん（75分）の⅘倍で60分
つまりよし子さんは合計170分かかった
そうすると「花子さんがA地点に着くと同時によし子さんがD地点に」着いたから花子さんも合計170分かかった。
そこでつぎに花子さんの帰り道170分の中身を区間ごとに（ゴールに近い方から）見ていくと
- BからA…上りの⁴⁄₃倍の速さだからかかる時間は¾倍の60分
- CからB…速さを「⁶⁄₅倍に」したからかかる時間は⅚倍の25分
- DからC…ぜんぶで170分かかったから（170－60－25＝）85分
- このDC間は距離2.5km（＝時速2.5km×60分）。速さは途中まで時速1.5km、途中から「⁶⁄₅倍に」なって時速1.8km
- そこで速さのつるかめ算を考えると（2.5km＝2500ｍ、時速1.5km＝分速25ｍ、時速1.8km＝分速30ｍより）
25×10+30×75＝2500 となっているから（分速25ｍ＝）時速1.5kmで進んだのは10分
よって雨が降り始めたのは2人が再び出発してから10分後 
