以前の記事の続きです。
円の中心が動いてできる線（センターライン）についての今年の出題例です。
下の図のように、半径5cmの円と縦30cm、横20cmの長方形が、いくつかあります。円は、図形の周りを矢印の方向に、図形の周に接しながら1周して元の位置に戻ります。次の問いに答えなさい。（岡山中2024）
⑴ 図1の長方形の周囲を円が1周するとき、円の中心が動いてできる線の長さは何cmですか。また、円が通過した部分の面積は何㎠ですか。
円の中心が動いてできる線
全体像は上の赤い点線部分となる。これを直線部分とおうぎ形の弧の部分とに分けて考えると
- 直線部分…(30+20)×2＝100㎝
- 弧の部分…4つの角におうぎ形（半径5㎝、中心角90°）が4つできるから 5×2×3.14÷4×4＝31.4㎝
だから合計131.4㎝
円が通過した部分の面積
原則どおり「センターラインの長さ×円の直径」で求められるから
131.4×10＝1314㎠
⑵ 図2のように、互いの辺が直角になるように図1の長方形を2枚置きました。2枚置いた図の周囲を円が1周するとき、円の中心が動いてできる線の長さは何cmですか。
小問⑴で求めた長方形が1個のときのセンターラインと比べると青の矢印線の部分をのぞいて2倍すればよいことがわかる。
青の部分の長さは円の半径2つ分（5×2＝10㎝）と中心角90°のおうぎ形の弧1つ分（5×2×3.14÷4＝7.85㎝）の合計で17.85㎝…❶
よって (131.4－17.85)×2＝227.1㎝
⑶ 図2と同様に、図3のように図1の長方形を10枚置きました。10枚置いた図の周囲を円が1周するとき、円の中心が動いてできる線の長さは何cmですか。
まずセンターラインの全体像は次のとおり。
- このうち左から2枚の長方形部分にまず注目する。この部分のセンターラインを小問⑵の形と比べると次の青の矢印線の分だけ短くなっている。この部分の長さは❶の17.85㎝
- つぎに左から3番目と4番目の長方形部分に注目する。この部分のセンターラインを小問⑵の形と比べると同じ青の矢印線の2つ分だけ短くなっている。その長さは❶×2＝35.7㎝
したがって
- 左から2枚の長方形部分のセンターラインの長さは 227.1－17.85＝209.25㎝。また図形の対称性より右から2枚の長方形のセンターラインの長さも同じく209.25㎝となる
- 左から3番目と4番目の長方形のセンターラインの長さは 227.1－17.85×2＝191.4㎝。また左から5番目と6番目、7番目と8番目はこれと同じ形なのでどちらも191.4㎝となる
よって 209.25×2+191.4×3＝992.7㎝ 
