以前の記事の続きです。
今年出題の立体切断の問題その3です。
その1（品川女子2024第2回）
右の立体は立方体です。•は辺AB、GHを3等分する点を表しています。3点F、P、Sを全て通るような平面で立方体を切断しました。切断面の形を最もふさわしい名前で答えると▢です。
立体切断の手順どおり考えていくと
- 同じ面上にあるPとF、FとSはそのまま直線で結ぶ（下図左）
- Sから出るPFと平行な直線を考えるとその直線はちょうど頂点Dを通るのがわかり直線DSを引く
- 同じ面上にあるDとPを線で結ぶ（このときDPはたしかにSFと平行になっている）
こうしてできた四角形PDSF（上図右）は辺2組が平行だが長さは異なる（たとえばSFよりDSの方が明らかに長い）
よって切断面の形は平行四角形
その2（浅野中2024）
一辺の長さが4cmの立方体ABCD-EFGHがあります。［図1］の点Iは正方形ABCDの対角線の交点です。［図2］の点Jは辺EH上でEJ：JH=3：1となる点です。四角すいIEFGHと三角すいAEFJが重なっている部分を立体Xとします。
このとき、次の問いに答えなさい。
ただし、(角すいの体積)=(底面積)×(高さ)×⅓で求められます。
⑴ EGとFJの交点を点Kとするとき、EK：KGをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。
底面の正方形EFGHに注目すると、次のように2つの三角形(青)は相似で相似比3：4だから EK：KG＝3：4
⑵ AKとEIは交わります。その交点を点Lとするとき、AL：LKをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。
AKもEIも同じ面AEGC（下図赤）の上にある。そしてここにも相似な三角形（下図黒）ができており、EK：KG＝3：4だから、EG=7とするとAI＝3.5。
したがってその相似比は3.5：3＝7：6
よってAL：LK＝7：6
⑶ 立方体の底面EFGHから点Lまでの高さは何cmですか。
「一辺の長さが4cmの立方体」だから三角形の相似比7：6より
4×6÷(7+6)＝²⁴⁄₁₃㎝
⑷ 立体Xの体積は何㎤ですか。
立体Xは三角形EFJを底面、「立方体の底面EFGHから点Lまでの高さ」を高さとする三角すいとなる（下図赤）
よって 4×3÷2ײ⁴⁄₁₃×⅓＝⁴⁸⁄₁₃㎤ 
