以前の記事の続きです。
今年の中学入試で出された旅人算の問題その4です。
その1（洗足学園2024）
A、B、Cの3人がスタートから7km走ったところで折り返し、同じ道を戻ってゴールする14kmのマラソン大会に参加しました。3人は同時にスタートし、ゴールまでそれぞれ一定の速さで走りました。AとBの速さの比は5：4です。Aは6km走ったところでCとすれ違い、Bはスタートから43分45秒後にCとすれ違いました。このとき、BがゴールしたのはAがゴールしてから何分何秒後ですか。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。
Aが6km走ったときの3人の状況を考えると
- 「AとBの速さの比は5：4」よりBがいるのは6×⅘＝4.8km地点
- 「Aは6km走ったところでCとすれ違」ったから（片道7km、往復14kmだから）Cがいるのは14－6＝8km地点
- このときBとCの走った距離に注目するとその比は4.8km：8km＝3：5だからBがCとすれ違うまでに③走るとするとCは⑤走ることとなる
- そして「Bはスタートから43分45秒後にCとすれ違」った。ここまでBが走った距離は全体の⅜（＝③÷(③+⑤)）だから 43分45秒÷⅜＝43.75÷0.375＝116⅔分よりスタートから116分40秒後にBがゴールする
- またかかる時間の比は速さの逆比だから「AとBの速さの比は5：4」よりAが走った時間：Bが走った時間＝4：5。とすると 116⅔×⅘＝93⅓分 よりスタートから93分20秒後にAがゴールする
よって（116分40秒－93分20秒＝23分20秒より）BがゴールしたのはAがゴールしてから23分20秒後
その2（洗足学園2024第3回）
A地点からB地点までは2700m離(はな)れています。姉と妹の歩く速さの比は3：2で、自転車に乗ると移動する速さがそれぞれ3倍になります。はじめは妹が自転車に乗った状態で、2人が同時にA地点を出発し、AB間を何往復かします。ただし、姉と妹が会う度に自転車を歩いている方に受け渡(わた)します。2回目に妹が自転車を受け渡すのは、A地点から何m離れたところですか。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。
「姉と妹の歩く速さの比は3：2で、自転車に乗ると移動する速さがそれぞれ3倍に」なるから、姉の歩く速さを③とするとそれぞれ速さは次のようになる。
- 妹が1回目に自転車を渡すまで…速さは妹が⑥、姉が③。進む距離もこれに比例して⑥：③となり「A地点からB地点までは2700m」だから妹は3600ｍ（＝2700×2×6÷(3+6)）進む。つまり2人が出会うのはB地点から900ｍ（＝3600－2700）のところ
- そのあと妹が1回目に自転車をもらうまで…速さは妹が②、姉が⑨。進む距離もこれに比例して②：⑨となるが、妹はA方向に歩くのに対して姉はいったんB方向に進むので（⑨－②＝）⑦だけ妹より長い距離を進むことになる。この⑦が900×2＝1800ｍだから①＝¹⁸⁰⁰⁄₇ｍ。つまり妹が進む距離②は ¹⁸⁰⁰⁄₇×2＝³⁶⁰⁰⁄₇ｍだから2人が会う（姉が追いつく）のはB地点から⁹⁹⁰⁰⁄₇ｍ（＝900+³⁶⁰⁰⁄₇）のところ
- そのあと妹が2回目に自転車を渡すまで…速さは妹が⑥、姉が③。進む距離もこれに比例して⑥：③となる。進んだ距離は2人合わせて (2700－⁹⁹⁰⁰⁄₇)×2＝¹⁸⁰⁰⁰⁄₇ｍ。このうち妹は ¹⁸⁰⁰⁰⁄₇×6÷(6+3)＝¹²⁰⁰⁰⁄₇ｍ進んだから出会うのはA地点から³⁰⁰⁰⁄₇ｍ（＝¹²⁰⁰⁰⁄₇－⁹⁰⁰⁰⁄₇）のところ
よって2回目に妹が自転車を受け渡すのはA地点から³⁰⁰⁰⁄₇m離れたところ 
