以前の記事の続きです。
植木算の問題の第6弾です。
木を植える（立命館慶祥2023）
まっすぐな道の両側に、はしからはしまで木を植えます。道の片側には6mおきに、反対側には10mおきに植えると、木の本数は両側合わせて50本になります。この道の長さは何mですか。ただし、木の太さは考えないものとします。
この道の長さを㉚ｍ（6と10の最小公倍数）とする。このとき必要な木の本数は
- 6ｍおきに植えた片側は (⑤+1)本
- 10ｍおきに植えた反対側は (③+1)本
「木の本数は両側合わせて50本」だから
⑤+1+③+1＝50 より⑧＝48だから ①＝6ｍ
よってこの道の長さ㉚は 6×30＝180ｍ
丸太を切る（青山学院横浜英和2023）
長さが10ｍの丸太があります。この丸太を40㎝ずつに切り分けます。40cmを1回切るのにかかる時間は10分です。また、5回切るごとに20分間の休憩をします。10ｍの丸太を1本切り終えるのにかかる時間は▢時間▢分です。
長さ10ｍ＝1000㎝の丸太を「40㎝ずつに切り分け」ると（1000÷40＝）25本に分かれる。このとき切る回数は24回（＝25－1）
- 24回切るのにかかる時間は「40cmを1回切るのにかかる時間は10分」なので 10×24＝240分
- 「5回切るごとに20分間の休憩」をするから24回切るとき（24÷5＝4あまり4より）4回の休憩をするので 20×4＝80分
よってかかる時間はぜんぶで
240+80＝320分＝5時間20分
くいを打つ（帝塚山中2023）
長さ360mの道に、両端を答めて等しい間かくで61本のくいを打つはずでしたが、まちがえて46本のくいを打ってしまいました。最初の予定通りに61本打つために、両端を含めて正しい場所に打ってある▢本はそのままにして、残りを抜き、作業を再開しました。
- 「まちがえて46本のくいを」打ったときのくいの間かくの個数は45だから間かく1つの幅は 360÷45＝8ｍ
- 正しく「61本のくいを打つ」ときの間かくの個数は60だから間かく1つの幅は 360÷60＝6ｍ
とすると（8と6の最小公倍数である）24ｍごとに同じ場所にくいを打つことになるから
0ｍ(左端)、24ｍ、48ｍ、…、360ｍ(右端)
の地点に打ったくいは共通だからそのまま使えることとなる。
よってそのまま使えるくいの本数は（360÷24＝15より間かくの数は15。これに+1して）16本
紙をはる（東京都市大学付属2019第2回）
1枚の長方形の「大きい紙」に、1辺が5cmの正方形の「小さい紙」を、たての列がそれぞれ等しい枚数、横の列がそれぞれ等い、枚数になるようにはりつけます。下の【例】は、たての列に2枚ずつ、横の列に3枚ずつはりつけたときの図で、同じ長さのところを㋐と呼ぶことにします。このように、㋐の長さを決めて何枚かの「小さい紙」をはりつけるとき、あとの問いに答えなさい。
問1 ㋐の長さを10cmにして、「小さい紙」を12枚はりつけるとき、「大きい紙」の面積は最も小さくて何㎠ですか。
【例】をみてわかるのは
- 1辺㋐㎝の正方形（「マス」という）が4つくっつく点を中心として「小さい紙」をはりつけること
- 「小さい紙」をたてに2枚はるときたてに3マスが必要で、横に3枚はるとき横に4マスが必要となる。つまり「小さい紙」のたての列の枚数と横の列の枚数にそれぞれ+1したものが、マスのたての列、横の列の数になること
とすると「小さい紙」12枚のはり方をいろいろ考えると（12の約数は1，2，3，4，6，12の6コあることより）
- たて1列、横12列（またはその逆。以下も同じ）にはるとき…必要なマスはたて2×横13＝26マス
- たて2列、横6列にはるとき…必要なマスはたて3×横7＝21マス
- たて3列、横4列にはるとき…必要なマスはたて4×横5＝20マス
これらを比べると（マスの大小がそのまま「大きい紙」の大小となるから）「大きい紙」の面積はたて40㎝、横50㎝のとき（たて4マス、横5マスのとき）最も小さくなる。
よってその面積は 40×50＝2000㎠
問2 ㋐の長さを8cmにして、たての長さが48cmの「大きい紙」に、「小さい紙」を60枚はりつけます。「大きい紙」の横の長さは何cmですか。
「㋐の長さを8cmに」したとき48÷8＝6よりたてに6マス必要
- このとき「小さい紙」はたてに5枚（マスの数－1）必要だからこれを60枚はるには（5×12＝60より）横に12枚ずつはることとなる
- とするとマスは横に13マス（「小さい紙」の枚数+1）必要
よって「大きい紙」の横の長さは
8×13＝104㎝
問3 たての長さが136cm、横の長さが255cmの「大きい紙」に、「小さい紙」をはりつけるとき、「小さい紙」は最も多くて何枚まではりつけることができますか。
これもマスの方に注目する。
「たての長さが136㎝、横の長さが255㎝」のとき（136と255の最大公約数17で割ると）たてと横の比は8：15。とするとマスの数も たて：横＝8：15であることが必要
- そこでマスの数（必ず8の倍数になる）を①たて8マス、②たて16マス、③たて24マス、④たて32マスとだんだん大きくしていくと（マスの1辺である）㋐の長さは①136÷8＝17㎝、②136÷16＝8.5㎝、③136÷24＝5⅔㎝、④136÷32＝4.25㎝とだんだん小さくなっていく
- しかし「小さい紙」の大きさ（1辺5㎝）よりマスが小さくなることはないので④はなく、③たて24マスとなるとき「小さい紙」の枚数は最大となる。このとき「小さい紙」は（24－1＝23より）たてに23枚ずつはれる
- またこのとき横は15×3＝45マスとなっているから「小さい紙」は（45－1＝44より）横に44枚ずつはれる
よって「小さい紙」が最も多くはれるときの枚数は 23×44＝1012枚 
