色のぬり分け⑧

以前の記事の続きです。

色のぬり分け問題の第8弾です。

図の3つの部分をすべて異なる色を使ってぬり分けます。赤、黄、青、緑、黒の5色があるとき、色のぬり方は何通りですか。

次のように番号をつけると

色はぜんぶで5色あり「3つの部分をすべて使って異なる色を使って」ぬり分けるという条件なので、1の色の選び方が5通り、2の色の選び方が残りの4通り、3の色の選び方が残りの3通りだから

5×4×3＝60通り

たとえば次のような塗り方でア、イ、ウの3色あれば塗り分けることができる。

よって少なくとも 3色

4か所を3色でぬるので同じ色をどこか2か所で使うことになる。「となり合う部分が同じ色にならない」のが条件だから①アとウを同じ色にするか、②イとエを同じ色にするかのどちらか。

よって 6+6＝12通り

上の3問の考え方をぜんぶ使うことになりますが、とにかくぬる場所の決め方と色の選び方を分けて考えることがポイントになります。

「同じ色を何度使ってもよい」ということだが、たとえば1、2、3の州の配置をみると「となり合う州には同じ色を使わない」条件により2色では足りず少なくとも3色が必要。

そこで❶6色ぜんぶ使う場合、❷5色を使う場合、❸4色を使う場合、❹3色を使う場合に分けて調べると

❶6色ぜんぶ使う場合…720通り

1の色の選び方が6通り、2の色の選び方が5通り、…と考えていくと

6×5×4×3×2×1＝720通り

❷5色を使う場合…4320通り

まずぬる場所の決め方を考えると、6か所を5色でぬるので同じ色をどこか2か所で使うことになる。

同じ色でぬれるのは「となり合う州」でない2つの州だからその決め方が「1と4」「1と5」「1と6」「2と5」「2と6」「4と6」の6通り
たとえば「1と4」が同じ色のとき、その「1と4」の色の選び方が5通り、2の色の選び方が残りの4通り、…となるから 5×4×3×2×1＝120通り。同じ色のペアを「1と5」「1と6」…「4と6」に変えたときもそれぞれ120通りずつあるからぜんぶで120×6＝720通り

そしてぬる色の選び方を考えると6色のうちどの5色を使うかで6通りある。

こうして場所の決め方で720通り、色の選び方で6通りあるから

720×6＝4320通り

❸4色を使う場合…2520通り

まずぬる場所の決め方を考えると、6か所を4色でぬるので同じ色をどこか2か所または3か所で使うことでぜんぶで4つの組に分けることになる。その4つの組の分け方は次の7通り。