以前の記事の続きです。
今年の入試問題から難しめの積み木問題です。
1辺の長さが1cmの小立方体72個を下の図の直方体になるように積み上げます。この直方体の1つの頂点に集まっている3辺の長さは3cm、3cm、8cmです。直方体の頂点を下の図のようにA〜Hとするとき、以下の問に答えなさい。（栄光学園2023）
⑴ 3点A、B、Gを通る平面で直方体を切断したとき、
(ア) 切られていない小立方体の個数を答えなさい。
(イ) 体積が1㎤未満の立体の個数を答えなさい。
まず切られる方の小立方体の個数を考えると、3階（一番上の段）が9コ、2階（真ん中の段）が12コ、1階（一番下の段）が9コで合計30コ
（*上から見た図は次のとおり。3階の出口の線＝2階の入口の線なので1つにまとめてある）
よって
(ア)「小立方体72個」あるから切られていない小立方体の個数は 72－30＝42個
(イ) 小立方体は体積1㎤だから切られた小立方体（30コ）はすべて「体積が1㎤未満の立体」となる。これが1コの切断で2コずつできるからその個数は 30×2＝60個
⑵ ⑴の切断に加えて、さらに、3点A、D、Fを通る平面で直方体を切断したとき、
(ア) 切られていない小立方体の個数を答えなさい。
(イ) 体積が1㎤未満の立体の個数を答えなさい。
これもまず切られる小立方体の個数を考える。
A、B、Gを通る平面での切断を「切断①」、A、D、Fを通る平面での切断を「切断②」とすると
- 切断①で切られる小立方体は30コ（小問⑴より）
- 切断②で切られる小立方体は 3×8＝24コ
- このうち2回とも切られる小立方体が次の10コある
同じことなので切断②を先にしたものとして考えるとこれにより24コの小立方が切られるから切断②で24×2＝48コの立体Mがまずできる。
このうち一部が切断①でさらに切られることとなるが、先ほどの図に現時点の立体Mの個数を書き込むと
ここに切断①をするとどうなるかを考えるといま白のハコにある0は2になり、赤のハコにある2は4になる。
つまりここにある30の立体すべてから2コずつ立体Mが誕生するのがわかり、切断①で2×30＝60コの立体Mが追加される。
よって「体積が1㎤未満の立体の個数」は 48+60＝108個
⑶ ⑴と⑵の切断に加えて、さらに、3点B、C、Eを通る平面で直方体を切断したとき、
(ア) 切られていない小立方体の個数を答えなさい。
(イ) 体積が1㎤未満の立体の個数を答えなさい。
これもまず切られる小立方体の個数を考える。
A、B、Gを通る平面での切断を「切断①」、A、D、Fを通る平面とB、C、Eを通る平面の2つの平面での切断を1つと考えて「切断③」とすると
- 切断①で切られる小立方体は30コ
- 切断③で切られる小立方体は 5×8＝40コ
- このうち2回とも切られる小立方体が（小問⑵とくらべると⑪～⑯の6コがふえて）次の16コある
同じように切断③を先にしたものとして考える。
すると4すみにある4×8＝32コからはそれぞれ2コ、真ん中にある1×8＝8コからはそれぞれ4コの立体Mが誕生するから切断③で32×2+8×4＝96コの立体Mがまずできる。
このうち一部が切断①でさらに切られることとなるが、先ほどの図に現時点の立体Mの個数を書き込むと
ここに切断①をするといま白のハコにある0は2になる。また赤のハコにある2は4になり、4は7になる*。
つまりここに書かれた30のうち26の立体からは2コずつ、真ん中4コの立体からは3コずつ立体Mが誕生するのがわかる。
こうして切断①で2×26+3×4＝64コの立体Mが追加される。
*2階の真ん中4コは切断③でそれぞれ4コの立体Mに分かれるが、これが切断①で8コにならないのは、4コ中1コの立体Mは下図の青の位置にあり切断①では切られないため。
よって「体積が1㎤未満の立体の個数」は 96+64＝160個 
