以前の記事の続きです。
点の移動の今年の出題例です。
図のように、1辺の長さが10cmの正三角形ABCと、1辺の長さが5cmの正方形CDEFがあります。3つの点P、Q、Rは以下のルールで動きます。
• 点Pは辺BCのちょうど真ん中から毎秒1cmの速さで正三角形ABCの辺上を反時計まわりに動く。
• 点Qは辺BCのちょうど真ん中から毎秒1cmの速さで六角形ABCDEFの辺上を時計まわりに動く。
• 点RはDから每秒1cmの速さで六角形ABCDEFの辺上を反時計まわりに動く。
PとQとRは同時に動き始め、5分後に止まります。このとき、次の問いに答えなさい。（市川中2023）
⑴ 5分間で、QとRが出会うのは何回か求めなさい。
点Qがスタートする「辺BCのちょうど真ん中」の地点をMとする。
- はじめにQはMに、RはDにいる。このMD間の長さは（M→B→A→F→E→Dと足していくと）5＋10＋5＋5＋5＝30㎝
- QはMから出て「時計まわりに」、RはDから出て「反時計まわりに」動く。どちらも「毎秒1cmの速さ」だから 30÷(1＋1)＝15より、QとRが最初に出会うのは15秒後（でA地点。その様子は下図の通り）
- そしてQとRはどちらも「六角形ABCDEFの辺上を」動く。六角形ABCDEFは長さ40㎝（A→B→Cが20㎝、C→D→E→F→Aが20㎝）なので 40÷(1＋1)＝20 よりその後20秒ごとに出会う
よって、300秒＝15秒＋20秒×14＋5秒 より、QとRは15秒後に最初に出会いそのあと14回出会うから合計15回
⑵ 5分間で、PとRが重なっていたのは何秒間か求めなさい。
問題文から情報を整理すると
- PはMから出て「正三角形ABCの辺上を反時計まわりに」、RはDから出て「六角形ABCDEFの辺上を反時計まわりに」動く。どちらも「毎秒1cmの速さ」だから最初に出会うのは10秒後（でF地点。その様子は下図の通り）
- その後F→A→B→Cの間はPとRは重なって動く。FからCまで25㎝あるから重なるのは25秒間
- 1周するのに「正三角形ABCの辺上を」動くPは30秒、「六角形ABCDEFの辺上を」動くQとRは40秒かかるから（その最小公倍数である）120秒周期でもとの位置関係にもどる
- とすると2回めに重なるのは130秒後でその後も120秒ごとに重なる
よって、300秒＝10秒＋120秒×2＋50秒 より、PとRは5分間で3回（10秒後、130秒後、250秒後）重なり、重なる時間は25×3＝75秒間
⑶ 5分後に3つの点が止まったとき、PEとRCの交わる点をTとします。このとき、角CTPの大きさを求めなさい。
P、Q、Rの5分後の場所をみると
- Pは30秒周期で動くから 300÷30＝10 よりちょうどスタート地点Mにもどっている
- Qは40秒周期だから 300÷40＝7あまり20 よりスタート地点Mから20秒進んだF地点にいる
- Rも40秒周期だからスタート地点Dから20秒進んだAとBのちょうど真ん中にいる
このとき
- P、Q、Rはそれぞれ正三角形の3辺の真ん中の点だから四角形PCQRはひし形でその2本の対角線であるRCとPQは直角にまじわる
- 三角形QPEはQP＝QEの二等辺三角形でその頂角は60＋90＝150°だから角QPEは15°（＝(180－150)÷2）
よって角CTPは青の三角形の外角だから 90＋15＝105°
