以前の記事の続きです。
点の移動の問題でグラフがついている場合、このグラフをいかに上手に活用するかがポイントとなります。グラフを見れば点が何回交わるのか、面積が最大になるのはどのあたりかといった点が簡単にイメージできるし、さらに三角形の相似を利用すればそれが具体的にどこの時点か、面積はいくらかなど計算で出すことも可能になります。
たとえば次の問題。
［図Ⅰ］のような長方形ABCDの辺AD上にAE＝EDとなるように点Eをとった図形があります。辺ADの長さは14㎝です。この図形上を2点P、Qが同時に動き始め、点PはBから毎秒2㎝でB→E→Cと移動します。点QはBから毎秒10㎝でB→E→C→E→B→E…と移動し、点Pが点Cに達するまでこの動きをくり返します。
2点P、Qが動き始めてからの時間と3点B、C、Pを頂点とする三角形の面積、3点A、B、Qを頂点とする三角形の面積の関係をグラフで表すと［図Ⅱ］のようになります。ただし、2点が重なるとき、または3点が一直線上に並ぶときは面積を0とします。
このとき、次の問いに答えなさい。（本郷中2022・第3回）
⑴ 辺ABの長さは何㎝ですか。
図Ⅱのグラフをみると、△BCPの面積（Pは片道しか移動しないのでヤマが一つだけの方）は最大で168㎠。このとき高さが最大になるが、これは図ⅠでいうとPがEの位置にきたとき。
このとき「辺ADの長さは14㎝」より底辺BCも14㎝なので
14×AB÷2＝168 より AB＝24㎝
受験生正答率83％（356/428）の問題。このあとの小問⑵は41％（174/428）、小問⑶は31％（133/428）となっています（学校発表）。
⑵ 2点P、Qが動き始めてから、最初に2つの図形の面積が等しくなるとき、その面積は何㎠ですか。
グラフが交わる点が「2つの図形の面積が等しくなる」ところで、これが最初にくるのは下の図の黒点のところ。この上下に相似な三角形ができており、下の三角形の高さがそのまま「2つの図形の面積」となる。その相似比が 7.5：10＝3：4 であることから、下の三角形の高さを求めると
168×⁴⁄₇＝96㎠
⑶ 最後に2つの図形の面積が等しくなるのは、2点P、Qが動き始めてから何秒後ですか。
「最後に2つの図形の面積が等しくなる」のは下の図の黒点のところで、この点の位置が求めたい「何秒後」かとなる。この上下にある相似な三角形の相似比は 12.5：5＝5：2 なので、点の位置は
20+5ײ⁄₇＝21³⁄₇秒後
