以前の記事の続きです。
回文数を取り上げた今年の出題例に次のようなものがあります。
15の倍数となる回文数（東京女学館2023帰国）
12321や70707のように、数字の並びが左右対称の整数を回文数といいます。このとき、次の各問いに答えなさい。
⑴ 5けたの回文数は全部で何個あるか求めなさい。
上3ケタ（万の位、千の位、百の位）を考えると100～999まで900コある。この900コそれぞれに対して回文数となるような下2ケタ（十の位と一の位）が必ず1通りだけ決まるからぜんぶで 900個
⑵ 5けたの回文数の中で、5の倍数であるものは何個あるか求めなさい。
小問⑴で求めた5ケタの回文数900コの中身は一の位が1のものから9のものまで同じ数だけ（それぞれ100コずつ）ある。
そして5の倍数である回文数は一の位が5のものだけ（一の位が0の回文数はない）なので5の倍数である5ケタの回文数は 100個
⑶ 5けたの回文数の中で、15の倍数であるものは何個あるか求めなさい。
「15の倍数」ということは5の倍数でもあり3の倍数でもあるということ。そこで小問⑵で求めた5の倍数の回文数100コのうち3の倍数になっているものの個数を求める。
まず万の位と一の位は5に決まり「5ABA5」の形になる。
このとき条件に合う「ABA」の組合せ（A＋B＋Aを3でわると2あまる数になる）をさがすと
①Aが0（50B05）のもの…Bは2、5、8の3コ
②Aが1（51B15）のもの…Bは0、3、6、9の4コ
③Aが2（52B25）のもの…Bは1、4、7の3コ
④Aが3（53B35）のもの…①と同じでBは3コ
⑤Aが4（54B45）のもの…②と同じでBは4コ
⑥Aが5（55B55）のもの…③と同じでBは3コ
⑦Aが6（56B65）のもの…①と同じでBは3コ
⑧Aが7（57B75）のもの…②と同じでBは4コ
⑨Aが8（58B85）のもの…③と同じでBは3コ
⑩Aが9（59B95）のもの…①と同じでBは3コ
よって①～⑩の合計で33個
11の倍数となる回文数（奈良学園中2023）
次の［ア］〜［セ］にあてはまる数を入れなさい。
14541のように逆から数を並べても、もとの数と同じになる数を回文数といいます。
2けたの整数のうち回文数は、
11、22、33、44、…、99 より全部で［ア］個あります。
ア＝9
3けたの整数のうち回文数は、
百の位が1の場合、101、111、121、…、191より［イ］個、
百の位が2の場合、202、212、222、…、292より［イ］個、
同様に見ると、百の位が9の場合、909、919、929、…、999より［イ］個あることから、全部で［ウ］個あります。
イ＝10、ウ＝90
4けたの整数のうち回文数は、
千の位が1の場合、1001、1111、1221、…、1991より［エ］個あることから、全部で［オ］個あります。
エ＝10、オ＝90
5けたの整数のうち回文数は、
ー万の位が1の場合、10001、10101、10201、…、19891、19991より［カ］個あることから、全部で［キ］個あります。
力＝100、キ＝900
次に、11以上の回文数を小さいものから順に並べます。
11、22、33、44、…、99、
101、111、121、…、
1001、1111、1221、…
このとき、初めから数えて10番目の数は［ク］、100番目の数は［ケ］、1000番目の数は［コ］です。
順に考えていくと
- 2ケタの回文数が9コあるから「初めから数えて10番目の数」は3ケタの最初の回文数で ク＝101
- 2ケタと3ケタの回文数で合計99コあるから「100番目の数」は4ケタの最初の回文数で ケ＝1001
- 2ケタ、3ケタ、4ケタの回文数で9＋90＋90＝189コある。5ケタの回文数は1ではじまるもの「1XXX1」が100コ、「2XXX2」が100コ、…、「8XXX8」が100コあり、ここまでで 189＋100×8＝989コ。となると「1000番目の数」は「9XXX9」という回文数の11番目の数。そこで9ではじまる5ケタの回文数を小さい順に数えていくと ①90009、②90109、③90209、④90309、⑤90409、⑥90509、⑦90609、⑧90709、⑨90809、⑩90909、⑪91019なので コ＝91019
また、この数の並びの中に、2けたの11の倍数は［サ］個、3けたの11の倍数は［シ］個あります。11から数えて15番目に出てくる11の倍数は「ス］で、100番目に出てくる11の倍数は［セ］です。
まず回文数の性質として偶数けたの回文数は必ず11の倍数となる。
たとえば4けたの回文数ABBAを考えると、A×1000＋B×100＋B×10＋A＝A×1001＋B×110＝11×(A×91＋B×10）とすることでわかります。
これを使って考えていくと
- 「2けたの11の倍数」は2ケタの回文数はすべて11の倍数だから9コあり サ＝9
- 「3けたの11の倍数」は121、242、363、484、616、737、858の8コで シ＝8
- 「11から数えて15番目に出てくる11の倍数」は「2けたの11の倍数」が9コあるから「3けたの11の倍数」の6番目の数で ス＝737
- 「100番目に出てくる11の倍数」は（「2けた」が9コ、「3けた」が8コあるから）4ケタの11の倍数の83番目（＝100－9－8）の数。そして4ケタの回文数はすべて11の倍数だから4ケタの回文数の83番目の数をさがせばよい。4ケタの回文数は「1XX1」が10コ、「2XX2」が10コ、…、「8XX8」が10コあるから（ここまでで80コだから）「9XX9」の3番目の数となる。よって①9009、②9119、③9229より セ＝9229
