以前の記事の続きです。
今年の入試問題から場合の数の第10弾です。
シンプルな良問であり変形パターンもいろいろ考えられそうで、類題が出されても対応できるようにしておきたいところです。
何人かの子どもたちが輪になっています。子どもたちの人数は偶数とします。2人ずつのペアを作り、ペアになった人と手をつなぎます。そのときに、手が交差しないようなペアの作り方が何通りあるかを考えます。例えば、子どもの人数が4人のときは、子どもに1から4の番号をふると、図1、図2のようになり、2通りです。
また、図3は、手が交差してしまっているダメな例です。
このとき、次の各問いに答えなさい。（晃華学園2023第3回）
[1] 子どもの人数が6人のときを考えます。図4のように、子どもに1から6の番号をふります。このとき、以下の文章の［ア］から［力］に入る数をそれぞれ答えなさい。ただし、［ア］と［イ］の順序は問いません。
1番の人は［ア］番、［イ］番、［ウ］番の人と同じペアになることができます。［ア］番、［イ］番の人とペアになった場合、残り4人のペアの作り方は、それぞれ、［エ］通りあります。［ウ］番の人とペアになった場合、残り4人のペアの作り方は［オ］通りあります。したがって、子どもの数が6人のとき、ペアの作り方は全部で［力］通りあります。
1番の人がペアになれるのは両どなり（②⑥）か真正面（④）
- ①②がペアのとき、残りのペアは（③④｜⑤⑥）か（③⑥｜④⑤）の2通り
- ①⑥がペアのときも同じように考えて2通り
- ①④がペアのとき、残りのペアは（②③｜⑤⑥）の1通り
よって、6人のときペアの作り方は2+2+1=5通りだから
ア＝2、イ＝6、ウ＝4、エ＝2、オ＝1、力＝5
[2] 子どもの人数が8人のときを考えます。図5のように、子どもに1から8の番号をふります。
⑴ 1番の子どもが2番の子どもとペアになったとき、残り6人のペアの作り方は、全部で何通りあるか求めなさい。
[1]で求めた6人のペアの作り方がそのままあてはまるから5通り
⑵ 子どもの人数が8人のとき、ペアの作り方は全部で何通りあるか求めなさい。
小問⑴をヒントに考えると
- 最初のペアを①②か①⑧に決めたとき…残り6人のペアの作り方はすでに見たようにそれぞれ5通りずつあるから5×2＝10通り
- 最初のペアを①④に決めたとき…残りのペアは（②③｜⑤⑥｜⑦⑧）と（②③｜⑤⑧｜⑥⑦）の2通り
- 最初のペアを①⑥に決めたとき…同じように考えて2通り
これでぜんぶ（①③、①⑤、①⑦をペアにすると奇数人のところができてしまう）だから 10+2+2＝14通り 
