以前の記事の続きです。
今年出題された場合の数の入試問題の第9弾で、最大公約数と最小公倍数とからめたさいころ問題になります。
1個のさいころを3回ふって、出た目の数字を順番にA、B、Cとします。A、B、Cの最大公約数をX、最小公倍数をYとするとき、次の問いに答えなさい。（田園調布2023午後）
⑴ X＝3になるA、B、Cの組み合わせは、全部で何通りありますか。
最大公約数が3なのでA、B、Cはすべて3の倍数。となると3か6だけなので 2×2×2＝8通り。
ただし、すべて6だと最大公約数は6になってしまうのでこの1通りはのぞく必要がある。
よって 8－1＝7通り
⑵ X＝2になるA、B、Cの組み合わせは、全部で何通りありますか。
最大公約数が2なのでA、B、Cはすべて2の倍数＝偶数と決まる。となるとA、B、Cは2,4,6のどれかなので 3×3×3＝27通り。
ただし、すべて4だと最大公約数は4に、すべて6だと6になってしまうのでこの2通りはのぞく必要がある。
よって 27－2＝25通り
⑶ Y＝20になるA、B、Cの組み合わせは、全部で何通りありますか。
最小公倍数が20なのでA、B、Cはすべて20の約数だから1,2,4,5のどれか。そして5と4は必ず必要（この2つがそろわないと最小公倍数20はつくれない）
そこでA、B、Cの組を（5,4,■）（■は1,2,4,5のどれか）とし、その並びかえを考えると
- （5,4,5）の並びかえが3通り
- （5,4,4）の並びかえが3通り
- （5,4,2）の並びかえが6通り
- （5,4,1）の並びかえが6通り
よって 3+3+6+6＝18通り
⑷ ①Y＝12になるA、B、Cの組み合わせは、全部で何通りありますか。
最小公倍数が12なのでA、B、Cはすべて12の約数だから1,2,3,4,6のどれか。そしてA、B、Cの組は（6,4,■）か（4,3,■）のどちらかの形（■は5以外）で書くことができる。
場合分けして考えると
❶（6,4,■）のとき…次の24通り
- (6,4,6) (6,4,4) の並びかえが3通りずつ
- (6,4,3) (6,4,2) (6,4,1) の並びかえが6通りずつ
❷（4,3,■）のとき…次の18通り
- (4,3,6) は❶で数えた
- (4,3,4) (4,3,3) の並びかえが3通りずつ
- (4,3,2) (4,3,1) の並びかえが6通りずつ
よって❶❷の合計で 42通り
⑷ ②X＝2とY＝12の少なくともどちらかになるようなA、B、Cの組み合わせは、全部で何通りありますか。
ここまででわかったことをまとめると
❶ X＝2になる組み合わせ25通り（小問⑵）の中身は次の8組
(6,6,4) (6,6,2) (6,4,4) (6,4,2) (6,2,2)
(4,4,2) (4,2,2) (2,2,2)
❷ Y=12になる組み合わせ42通り（小問⑷①）の中身は次の9組
(6,6,4) (6,4,4) (6,4,3) (6,4,2) (6,4,1)
(4,4,3) (4,3,3) (4,3,2) (4,3,1)
上の❶❷を見くらべるとグレーの3組が重なっており、その組み合わせは (6,6,4) が3通り、(6,4,4) が3通り、(6,4,2) が6通りの合計12通りある。
よって 25+42－12＝55通り
