以前の記事の続きです。
今年の入試問題から、周期算の第2弾です。
ゆたか君の家は、東西方向にのびる「ケルネル通り」という道の南側に面しています。駅は道の北側に面しており、家から駅までの間に、3つの横断歩道A、B、Cがあります。下の図は、家、駅、3つの横断歩道の位置の関係と、それぞれの経路の道のりを表したものです。
※見やすさのため2つに分けた
それぞれの横断歩道にある信号は、次の＜規則＞にしたがって、くり返し変わります。
＜規則＞
横断歩道Aにある信号：『青』30秒間ー『点滅』10秒間ー『赤』20秒間ー（『青』にもどる）
横断歩道Bにある信号：『青』40秒間ー『点滅』10秒間ー『赤』30秒間ー（『青』にもどる）
横断歩道Cにある信号：『青』50秒間ー『点滅』10秒間ー『赤』40秒間ー（『青』にもどる）
歩行者が横断歩道に着いたとき、信号が『青』であれば、横断歩道を随り始めることができます。『点滅』または『赤』であれば、横断歩道を渡り始めることはできません。
『赤』から『青』に変わる瞬間、および『青』から『点滅』に変わる瞬間は、渡り始めることができます。これらの3つの信号はすべて、11時00分00秒に『赤』から『青』に変わります。
ゆたか君は家を出発し、秒速1mの速さで歩いて最短経路で駅に向かいます。そのとき、ゆたか君は3つの横断歩道A、B、Cのいずれかを選ぶことができます。
次の問いに答えなさい。（筑波大学附属駒場2023）
⑴ ゆたか君が家を出発する時刻が11時00分00秒のとき、駅に着く時刻は11時何分何秒ですか。
もっとも早く着く場合の時刻を答えなさい。また、そのときにゆたか君が渡る横断歩道をA、B、Cの記号で答えなさい。
まず横断歩道の規則を確認すると、『点滅』でも横断歩道を渡れないのだから、『点滅』と『赤』をまとめて『赤信号』として次のようにより簡単に書いておく。
ゆたか君の家から駅まではどの横断歩道を渡っても距離は同じ540ｍ（＝105+200+200+10+25）なので「秒速1mの速さ」で歩くゆたか君が実際に歩く時間は540秒＝9分。となるとこれに信号待ちの時間を足したものが駅に着くのにかかる時間となる。
横断歩道A、B、Cのどれを渡るかでこの信号待ちの時間がどう変わるかを見ていく。たとえば家を出て105秒後（11時00分00秒の105秒後＝11時1分45秒）を以下たんに「105秒後」のように書くとすると
- 横断歩道Aを渡るとき…家からの距離105ｍなのでAを渡りはじめる地点に着くのは105秒後→Aの青は0-30秒後、60-90秒後、120-150秒後なのでここで15秒待つことになる。
- 横断歩道Bを渡るとき…距離305ｍなのでBを渡りはじめる地点に着くのは305秒後→Bの青は0-40秒後、80-120秒後、160-200秒後、240-280秒後、320-360秒後なのでここで15秒待つことになる。
- 横断歩道Cを渡るとき…距離505ｍなのでCを渡りはじめる地点に着くのは505秒後→Cの青は0-50秒後、100-150秒後、200-250秒後、300-350秒後、400-450秒後、500-550秒後なので待たずに渡れる。
よって、駅にもっとも早く着く場合の時刻は9分後の11時09分00秒
このときゆたか君が渡る横断歩道はC
⑵ ゆたか君が駅に11時30分00秒までに着くためには、家を11時何分何秒に出発すればよいですか。
もっとも遅く出発する場合の時刻を答えなさい。また、そのときにゆたか君が渡る横断歩道をA、B、Cの記号で答えなさい。
※黄色部分は実際は下線
11時30分00秒（＝1800秒後）から逆に考えると（横断歩道の長さ10ｍも考えて）
- その35秒前（＝1765秒後）にCを渡りはじめる
- その235秒前（＝1565秒後）にBを渡りはじめる
- その435秒前（＝1365秒後）にAを渡りはじめる
のどれかができるとしたら信号待ちの時間はない（信号待ちの時間がないとしたらゆたか君は11時21分00秒に家を出発すればよい）。
しかし実際にはこの時間に家を出ると次のようにどの信号を渡るときでも赤信号にぶつかってしまう（11時30分00秒到着に間に合わなくなってしまう）からその1つ前の青で渡る必要がある。
- Cを渡るとき…（小問⑴で見たように）青は100の倍数秒から50秒間つづくから1765秒後は赤信号→「11時30分00秒までに着く」には（1つ前の青で渡るため）家を15秒早く出て1750秒後までに青を渡りはじめないといけない
- Bを渡るとき…青は80の倍数秒から40秒間つづくから1565秒後は赤信号→家を5秒早く出て1560秒後までに青を渡りはじめないといけない
- Aを渡るとき…青は60の倍数秒から30秒間つづくから1365秒後は赤信号→家を15秒早く出て1350秒後までに青を渡りはじめないといけない
よって、3つのなかで家をもっとも遅く出発できるのはBを渡るときで、その時刻は 11時21分00秒－5秒＝11時20分55秒
⑶ ゆたか君のお姉さんは駅を11時31分00秒に出発します。お姉さんは秒速1mの速さで歩いて最短経路でゆたか君の家に向かいます。ただし、お姉さんは必ず横断歩道Cを渡ります。
お姉さんが横断歩道Cを渡り始める時刻までに、ゆたか君とお姉さんが出会うためには、ゆたか君は家を11時何分何秒に出発すればよいですか。もっとも遅く出発する場合の時刻を答えなさい。また、そのときにゆたか君が渡る横断歩道をA、B、Cの記号で答えなさい。
※黄色部分は実際は下線
11時31分00秒（＝1860秒後）に駅に着いたお姉さんは、そこから25ｍ歩いて1885秒後に横断歩道Cを渡りはじめる地点に着く。
しかしCの青は100の倍数秒から50秒間つづくから1885秒後は赤信号で、お姉さんは青になる1900秒後までそこで15秒待つこととなる。つまりゆたか君は1900秒後に駅の手前25ｍ地点でお姉さんと出会うのがもっとも遅い出会い方になる。
ここから逆に数えて、ゆたか君は
- その10秒前（＝1890秒後）にちょうどCを渡り始める
- その210秒前（＝1690秒後）にちょうどBを渡り始める
- その410秒前（＝1490秒後）にちょうどAを渡り始める
のどれかができるとしたら信号待ちの時間はなく、それがもっとも遅い家の出発時間（1385秒後）となる。
順に見ていくと
- Cを渡るとき…青は100の倍数秒から50秒間つづくから1890秒後は赤信号→1つ前の青で渡るため40秒早く家を出て1850秒後までに青を渡りはじめないといけない
- Bを渡るとき…青は80の倍数秒から40秒間つづくから1690秒後は青で待ち時間はないからそのまま1385秒後＝11時23分05秒に家を出ればよい
- Aを渡るとき…青は60の倍数秒から30秒間つづくから1490秒後は赤信号→20秒早く家を出て1470秒後までに青を渡りはじめないといけない
よって、ゆたか君がもっとも遅く出発する場合の時刻は（1385秒後で）11時23分05秒
このときにゆたか君が渡る横断歩道はB 
