以前の記事の続きです。
信号待ちのある旅人算の問題として、ほかにも次のような出題例があります。
信号待ちのある旅人算（和歌山信愛2018B）
駅から学校まで1080ｍの道路があります。この道路には下の図のように270ｍごとにA、B、C 3つの信号機があります。これらの信号機は8時ちょうどに同時に青色になり、その40秒後に同時に赤色になります。さらにその40秒後には同時に青色になるように、40秒ごとにくり返し変わります。
美央さんは8時ちょうどに駅を出発し、時速3.6㎞で歩いて学校に向かいました。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 美央さんは、学校に着くまでにどの信号機のところで待ちますか、記号で答えなさい。
美央さんは「8時ちょうどに駅を出発」して時速3.6㎞＝分速60ｍ＝秒速1ｍで歩く。このあと、それぞれの信号に何秒後に着くか考えていく。
信号A
270ｍ先のAに着くのは270秒後。一方「信号機は8時ちょうどに同時に青色になり、その40秒後に同時に赤色に」なるというように「40秒ごとにくり返し変わ」るから、8時から数えると、赤の時間は40～80秒後、120～160秒後、200～240秒後、280～320秒後なので、Aでは待たない。
ここで赤の時間は40秒の周期で（40×奇数）秒後からはじまることに気づく。
信号B
540ｍ先のBにつくのは540秒後。40×13＝520より、520～560秒後は赤なので、Bで20秒待つこととなる。
信号C
810ｍ先のCにつくのは810+20＝830秒後。40×19＝760、40×21＝840より、赤の時間（760～800秒後、840～880秒後）にはぶつからず、Cでは待たない。
よって、美央さんが待つのは B の信号機
⑵ 美央さんが学校に着く時刻は8時何分何秒ですか。
「駅から学校まで1080ｍ」の距離を、美央さんは分速60ｍで歩くので、歩く時間は1080÷60＝18分間。
ここにBの信号で待つ20秒間を足すと、「8時ちょうどに駅を出発」した美央さんが学校に着く時刻は8時18分20秒
⑶ 愛さんは8時ちょうどに学校を出発し、時速10.8kmで走って駅に向かいました。美央さんと愛さんが出会う時刻は8時何分何秒ですか。
愛さんは「8時ちょうどに学校を出発」して時速10.8㎞＝分速180ｍ＝秒速3ｍで歩く。このあと、それぞれの信号に何秒後に着くか同じように考えていく。
信号C
270ｍ先のCに着くのは90秒後。赤の時間（40～80秒後、120～160秒後）にはぶつからず、Cでは待たない。
信号B
540ｍ先のBにつくのは180秒後。赤の時間（120～160秒後、200～240秒後）にはぶつからず、Bでも待たない。
信号A
810ｍ先のAにつくのは270秒後。ちょうど同じ270秒後に美央さんもAに着く。
よって、美央さんと愛さんが出会うのは2人が出発して270秒後＝4分30秒後の 8時4分30秒
踏切待ちのある旅人算（茗渓学園2020）
ある日メイさんは、家からショッピングモールへ歩いて買い物に行きました。家とショッピングモールの間にはふみ切があります。ふみ切はメイさんの家からショッピングモールに向かって1200ｍの地点にあります。このふみ切では、8分間の開いていて通れる時間と、2分間の閉まっていて通れない時間があり、それが規則的にくり返されます。メイさんは、10時ちょうどに家をでて、途中ふみ切で2分間止まり、その後ショッピングモールに着きました。メイさんの姉は、10時23分に自転車で家を出発し、時速12kmの速さで向かったところ途中のふみ切で止まることなく、10時35分にショッピングモールに着きました。次の各問に答えなさい。
⑴ 家からショッピングモールまでの距離は何mですか。
「メイさんの姉は、10時23分に自転車で家を出発し、時速12kmの速さで向かったところ途中のふみ切で止まることなく、10時35分にショッピングモールに」着いたことから、家からショッピングモールまでは時速12㎞の自転車で12分＝⅕時間かかる距離なので
12×⅕＝2.4㎞ より 2400ｍ
⑵ 10時32分に姉がメイさんに追いつきました。メイさんの歩く速さは毎分何mですか。
姉が追いついたのは自転車で（ショッピングモールまで12分かかるうち）9分走ったところなので家から1800ｍ（＝2400ｍ×⁹⁄₁₂）の距離。
ここまでメイさんは30分（＝32分－2分）で歩いてきたから、
1800ｍ÷30分＝毎分60ｍ
⑶ メイさんは、母に、メイさんがショッピングモールに着いてからちょうど40分後にショッピングモールを出られるように迎えに来てほしいと伝えました。母は約束の時間に間に合うよう、11時［（ア）］分に自動車で家を出て、時速36㎞でショッピングモールに向かいました。このとき、(ア)に入る整数の中で最も大きい数を答えなさい。
姉がメイさんに追いついたのは10時32分でショッピングモールまであと600ｍの地点。となるとメイさん（毎分60ｍ）がショッピングモールに着くのは10時42分。
母が到着しないといけない時間は「メイさんがショッピングモールに着いてからちょうど40分後」なので 11時22分。
母の自動車は時速36㎞＝分速600ｍで進むから、車で走る時間は2400÷600＝4分。したがってもし踏切で止まらないなら11時18分に家を出れば間に合う。
ここで踏切がいつ閉まるか（踏切の周期）を考える。
踏切がいつ閉まるか（踏切の周期）
「メイさんは、10時ちょうどに家をでて、途中ふみ切で2分間」止まった。踏切は1200ｍ地点にあるから、メイさんの到着時刻は（1200÷60＝20より）10時20分。踏切には「8分間の開いていて通れる時間と、2分間の閉まっていて通れない時間」があるから、10:20-10:22が「通れない時間」だと分かる。となると、このあと踏切が閉まる時間は
10:30-10:32 10:40-10:42 10:50-10:52
11:00-11:02 11:10-11:12 11:20-11:22
という10分の周期をくり返す。
そして母がもし11時18分に自動車（分速600ｍ）で家を出ると、1200ｍ地点にある踏切に11時20分に着くが、このとき踏切はちょうど閉まったところなので、これだと踏切で2分待つことになる（約束の時間に遅れてしまう）。
よって母は11時18分より前に家を出ないといけない。11時17分59秒でも大丈夫だが、アには「整数の中で最も大きい数」が入るから（秒は切り捨てて）11時17分に家を出ることとなる（これだと踏切が閉まる1分前の11時19分に踏切を通過でき止まらないでに済む）ので ア＝17 
