以前の記事の続きです。
今年の入試問題から、鉄道模型と通過算の組合せという、あるようで意外となかった問題を今回取り上げます。「見える長さの変化のグラフ」というのもなかなか目新しい切り口です。
［図1］のように、途中にトンネルがある円形の線路の模型があります。電車の模型A、Bはそれぞれ矢印の向きに一定の速さで走っています。Aは車両の長さが20cmで外側を、Bは車両の長さが16cmで内側を走っています。AとBは9時に地点Pですれちがい始め、その60秒後にもPですれちがい始めます。
地点QからAを見たとき、AとBがすれちがっている間やAがトンネルに入っている間は、Aの車両はBの車両やトンネルでかくれるので、「Qから見えるAの車両の長さ」は短くなります。［図2］はAとBがすれちがっている途中の図で、XとYの和が「Qから見えるAの車両の長さ」です。
グラフは9時からの経過時間と「Qから見えるAの車両の長さ」との関係を表したものです。以下の問いに答えなさい。（清風南海2023）
⑴ 
に当てはまる数を答えなさい。
「Aは車両の長さが20cm」「Bは車両の長さが16cm」なのでその差4㎝。
図2にある「XとYの和が「Qから見えるAの車両の長さ」」なので、Aの車両のうち少なくともこの4㎝部分はAとBがすれちがっている途中でもいつもQから見えているとわかる。
よって 
＝4
⑵ Aが線路を1周する間にBは何周しますか。
AとBがすれちがっているとき（0秒から4秒）のグラフの形と同じものがスタートして20秒後、40秒後（のはじめの方）、60秒後に出てくる（下図の赤の部分）。
ここからAとBは20秒ごとにすれちがう＝AとBの速さを足すと20秒で線路を1周する速さになることがわかる。
またグラフを見ると60秒間に0になる（＝ぜんぶかくれる）のは44秒すぎにある1回だけ。これはAがトンネルを通るのが60秒間で1回だけということなので、Aは60秒で1周する。なので20秒だと⅓周する。
よって、Bは20秒で残り⅔周を走ることがわかり、60秒だと⅔×3＝2周する
⑶ A、Bの速さはそれぞれ秒速何cmですか。
グラフからAとBがすれ違うのにかかる時間は4秒。すれ違うときに走る距離は (Aの長さ)+(Bの長さ)＝20+16＝36㎝。
となるとAとBの速さの和は秒速9㎝（＝36÷4）
そしてAが1周する間にBは2周する（小問⑵）から、Bの速さはAの速さの2倍
よって Aの速さは秒速3㎝、Bの速さは秒速6㎝
⑷ トンネルの長さは何cmですか。この問題については、求め方も書きなさい。
44秒後にみえるAの長さは本来20㎝あるはずのところ、グラフでは14㎝になっている。ここからこの時点でトンネルに6㎝かくれているとわかる。
これはA（秒速3㎝）がトンネルに入り始めてから2秒後のことなので、Aがトンネルに入り始めたのは42秒後。
そしてAがトンネルから出終わったのが58秒後なので、トンネル通過にかかる時間は16秒。Aはこの16秒間で3×16＝48㎝進むから「トンネル+Aの長さ」は48㎝とわかる。
よって、Aの長さ20㎝なので、トンネルの長さは 48－20＝28㎝ 
