以前の記事の続きです。
いろいろ応用がききそうな場合の数の問題としてほかにも次のようなものがあります。
一筆書き（夙川中2022）
右の図を点Aをスタートとして、一筆書きで書きます。書き方は全部で▢通りあります。
一筆書きパターンの場合の数は数えもれをおこしやすい（見た目以上に実は多い）ので注意してかかる必要あります。
4本の線を㋐㋑㋒㋓とする。
- ㋐㋑㋒㋓はどの順番で書いても一筆書きで書けるから、㋐㋑㋒㋓の並べ方を考えると4×3×2×1＝24通りある
- そしてたとえば㋐の線の書き方は、上の線から書き始めるのと下の線から書き始めるのと2通りある。㋑㋒㋓の線も同じなので、たとえば㋐㋑㋒㋓の順に書く書き方だけでも2×2×2×2＝16通りある
これらは同時に起こるから、24×16＝384通り
天秤ではかれる重さ（佼正学園女子2020）
天秤ばかり1台と、1グラム、3グラム、9グラムのおもりが1個ずつあります。これらの道具で量ることのできる重さは▢通りあります。
まずぜんぶのおもりを使うと9+3+1＝13gとなるので最高で1～13gまでの13通り
この13通りのうち量ることのできない重さはないかを考えてみると、つぎのように赤字で示したおもりを反対側の（荷物をのせる方の）皿にのせることですべての重さが量れるからそのまま13通り
①1g、②2g＝3g－1g、③3g、④4g＝3g+1g、⑤5g＝9g－3g－1g、⑥6g＝9g－3g、⑦7g＝9g+1g－3g、⑧8g＝9g－1g、⑨9g、⑩10g＝9g+1g、⑪11g＝9g+3g－1g、⑫12g＝9g+3g、⑬13g＝9g+3g+1g
サイコロ（三田国際2022第2回）
大小2つのサイコロを1回投げたとき、出た目の数の最大公約数が1になるのは全部で□通りあります。
大きい方の数で場合分けする。
- 大きい数が6…（6,5）（6,1）
- 大きい数が5…（5,4）（5,3）（5,2）（5,1）
- 大きい数が4…（4,3）（4,1）
- 大きい数が3…（3,2）（3,1）
- 大きい数が2…（2,1）
- （1,1）
そして、6.をのぞくと、どちらが大のサイコロの数字かでそれぞれ2通りあるから 11×2＝22通り。
よって、6.の1通りを足して計23通り
じゃんけん（穎明館2022第4回）
A、B、C、Dの4人が1回じゃんけんをします。4人の手の出し方は全部で81通りあります。
⑴ 1人だけが勝つ手の出し方は全部で何通りありますか。
Aがグーで勝つ勝ち方をまず考え、そこから広げていく。
- Aがグーで勝つ勝ち方は（B・C・Dともチョキのときだけなので）1通り。Aがチョキで勝つ勝ち方、パーで勝つ勝ち方もそれぞれ1通りあるから、Aが勝つ勝ち方は3通り
- 同じようにBが勝つ勝ち方、Cが勝つ勝ち方、Dが勝つ勝ち方もそれぞれ3通りある
よって3×4＝12通り
⑵ 2人が勝つ手の出し方は全部で何通りありますか。
AとBがグーで勝つ勝ち方をまず考え、そこから広げていく。
- AとBがグーで勝つ勝ち方は（C・Dがチョキのときだけなので）1通り。AとBがチョキで勝つ勝ち方、パーで勝つ勝ち方もそれぞれ1通りあるから、AとBが勝つ勝ち方は3通り
- 同じようにAとC、AとD、BとC、BとD、CとDが勝つ勝ち方もそれぞれ3通りある
よって3×6＝18通り
⑶ 誰も勝たなかった場合は「あいこ」とします。「あいこ」になる手の出し方は全部で何通りありますか。
2人のじゃんけんだとあいこになるのはパーとパー、グーとグー、チョキとチョキのとき、3人のじゃんけんだと3人がグーとチョキとパーのとき、とわかりやすいが、4人以上になるとそう簡単にはいかなくなるので余事象で考えることになります。
「あいこ」にならない＝誰かが勝つ手の出し方をまず考えると
- 1人だけ勝つ手の出し方は12通り（小問⑴）
- 2人が勝つ手の出し方は18通り（小問⑵）
- 3人が勝つ手の出し方（＝1人だけ負ける手の出し方）は1.と同じく12通り
「4人の手の出し方は全部で81通り」なので、ここから上の3パターンを引くと「誰も勝たない手の出し方」＝「あいこになる手の出し方」となるから、81－(12+18+12)＝39通り 
