以前の記事の続きです。
立体くりぬきの分野でもいろいろと応用問題が出されています。
次のような問題です。
くりぬいた面をあてる（光英VERITAS中2021）
下の図のような直方体があります。この直方体の3つの面(あ)、(い)、(う)のうちの1つの面の中央から反対側の面まで直方体をくりぬきました。くりぬいてできた穴の形は、たて4㎝、横6㎝の長方形でした。直方体をくりぬいたあとの立体の体積は、もとの直方体の体積より20%減りました。次の問いに答えなさい。
⑴ 直方体の(あ)、(い)、(う)のどの面に穴をあけましたか。記号で答えなさい。
「1つの面の中央から反対側の面まで直方体をくりぬ」いたときに「もとの直方体の体積より20%減」るような穴のあけ方を考える。
穴をあけた面の表面積が20％減ると（その面を底面積と考えたときの高さは一緒なので）くりぬいたあとの立体の体積も20%減るという関係にある。
「くりぬいてできた穴の形は、たて4㎝、横6㎝の長方形」なのでできた穴の面積は24㎠。これが20％にあたるので、もとの表面積は120㎠だった。
これはたて12㎝、横10㎝の（あ）の面
⑵ 直方体をくりぬいたあとにできる立体の表面積は何㎠ですか。
前の記事でも使った手順で、❶くりぬく前の全体の表面積をまず求め、❷くりぬくことで減った表面積を引き、❸増えた表面積をたすという順に考えるのがわかりやすいです。
次の❶－❷+❸より 768㎠
❶くりぬく前の全体の表面積
…（10×12+9×10+9×12）×2＝318×2＝636㎠
❷減った部分（(あ)の面の20％の2コ分）
…10×12×0.2×2＝48㎠
❸増えた部分（内側の直方体の側面）
…（4+6+4+6）×9＝180㎠
3回くりぬく（頌栄女子2020）
【図1】のような、1辺12cmの立方体があります。面アから向かいの面まで【図1】の位置で、1辺10cmの正方形の形の穴をくりぬきます。次に、面イと面ウからそれぞれの向かいの面まで、【図2】の位置で、半径5cmの円の形の穴をくりぬきます。 くりぬいたあとに残った立体について、体積は何㎤か、表面積は何㎠か、それぞれ求めなさい。
体積
❶くりぬく前の全体の体積…12×12×12＝1728㎤
❷減った体積…①②の合計で1514㎤
①くりぬいた直方体の体積…10×10×12＝1200㎤
②くりぬいた円柱のうち①と重ならない部分の体積…5×5×3.14×厚さ1㎝×4コ＝314㎤
表面積
次の❶－❷+❸より 641.6㎠
❶くりぬく前の全体の表面積
…12×12×6面＝864㎠
❷減った表面積…①②の合計で828㎤
①正方形の穴で減った…10×10×2面＝200㎠
②円の穴で減った…5×5×3.14×8面＝628㎠
❸増えた表面積…①②の合計で605.6㎠
①正方形の穴で増えた（内側の直方体の側面）…10㎝×4辺×12㎝＝480㎠
②円の穴で増えた（内側の円柱のうち①と重ならない部分）…直径10㎝×3.14×厚さ1㎝×4コ＝125.6㎠
くりぬいたうちの一部だけ重なる（大阪教育大学附属池田中2019）
次の図のように直方体から直方体をくりぬきます。また、くりぬく直方体はしゃ線の部分を底面とし、通りぬけるまでくりぬきます。
⑴ 図1のように2ケ所からくりぬきました。残った体積を求めなさい。
前の記事でも使った手順で、つぎの❶－❷+❸より 440㎤
❶くりぬく前の全体の体積…7×8×12＝672㎤
❷くりぬいた立体の体積の和（重なりを考えない）…①②の合計で247㎤
①5×5の正方形のくりぬき…5×5×7＝175㎤
②3×3の正方形のくりぬき…3×3×8＝72㎤
❸重なりの部分の体積
…たて3㎝×横5㎝×高さ1㎝＝15㎤。うえから見た図だけ書くと次のとおり。
3方向の重なりの図を書こうとすると逆にぐちゃぐちゃになってしまうので2方向（たてと横）だけのうえから見た図だけ書き、高さは別に計算して考えるのがいちばん混乱がないように思います。
⑵ ⑴の状態から、図2のようにさらにもう1ヶ所くりぬきました。残った体積を求めなさい。
集合算の重なりと同じ理屈なので、3つの集合算のとき使った方法を応用して解くのが早いです。
つぎの❶－❷+❸－❹より 335㎤
❶くりぬく前の全体の体積…672㎤*（*は小問⑴で計算済み）
❷くりぬいた立体の体積の和（重なりを考えない）…①②③の合計で439㎤
①5×5の正方形のくりぬき…175㎤*
②3×3の正方形のくりぬき…72㎤*
③4×4の正方形のくりぬき…4×4×12＝192㎤
❸2つのくりぬきが重なる部分（3つの重なりは考えない）の体積…つぎの合計で111㎤
①と②…15㎠*
②と③…たて3㎝×横4㎝×高さ3㎝＝36㎤
③と①…たて4㎝×横3㎝×高さ5㎝＝60㎤
❹3つのくりぬきぜんぶが重なる部分の体積
…たて3㎝×横3㎝×高さ1㎝＝9㎤
