以前の記事の続きです。
入試問題がそのまますぐれた学習教材になるものとして、今回は流水算を取り上げます。
流水算(国府台女子学院2020推薦)
次のような問題があります。
<問題>川の上流にあるP地点と下流にあるQ地点を船で往復したところ20分かかりました。静水時の船の速さが時速15㎞、川の流れの速さが時速6㎞であるとき、P地点とQ地点の間の距離は何㎞ですか。
この問題を次のように解答しました。
~
にあてはまる数を答えなさい。ただし、
は最も簡単な整数の比で答えなさい。
P地点からQ地点まで川を下るときの速さは時速
㎞
「静水時の船の速さが時速15㎞」、「川の流れの速さが時速6㎞」なので、「川を下るときの速さ」はこれらの和となり 時速21㎞
Q地点からP地点まで川を上るときの速さは時速
㎞
「川を上るときの速さ」は船の速さと川の流れの速さの差となり 時速9㎞
よって、下るときと上るときにかかる時間の比は
であるので下るときにかかる時間は
分
速さの比は下り:上り=21:9=7:3。時間の比は速さの比の逆比なので、かかる時間の比は下り:上り=3:7
往復にかかった時間20分をこの比で分けると「下るときにかかる時間」は20分×3/10=6分
したがって、P地点とQ地点の間の距離は
㎞である。
下りの情報を使って「P地点とQ地点の間の距離」を求めると、時速21㎞は分速350m(=21×1000÷60)だから
350×6分=2100m=2.1㎞
練習問題
少しローカルな流水算(報徳学園中2021)
船Aと船Bは、武庫(むこ)川の上流にある甲武(こうぶ)橋と下流にある上武庫(かみむこ)橋の間を往復します。船Aは甲武橋を、船Bは上武庫橋をそれぞれ同時に出発し、20分後に初めてすれちがいました。その10分後に、船Aは上武庫橋につきました。流れのないところでは船Aは毎分60m、船Bは毎分75mの速さで進みます。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、船の長さは考えないものとします。
⑴ 武庫川の流れの速さは毎分何mですか。
武庫川の流れの速さを毎分①mとする。
AとBがすれちがった地点までBは20分かかり、同じ距離をAは10分で進んでいるので、速さの比はかかった時間の比の逆比より1:2。つまり
Aが上流に向かう速さ:Bが下流に向かう速さ=(75-①):(60+①)=1:2
この比例式を「内項の積=外項の積」で解くと 60+①=150-②
③=90 より①=毎分30m
⑵ 船Aと船Bが2回目にすれちがうのは、甲武橋から何mはなれたところですか。
船Aは初めてすれちがったあと上武庫橋まで10分かけて下るのに対し、船Bはこのあと甲武橋まで40分かけて上る(Aが20分かけて下ってきた距離なので)。したがって、船Aは船Bより30分早く折り返して上流地点(甲武橋)に向かうこととなる。このとき船Aは分速30m(=船60m-流30m)で進むから、この30分間で900m進む。
ところで船Aは甲武橋(上流)から上武庫橋(下流)まで分速90m(=船60m+流30m)で合計30分かかったから、その距離は片道2700m。
となると、1回目にすれちがって40分後には、船A(上武庫橋から900m上った地点にいる)と船B(甲武橋にちょうど着いたところ)とは2700-900=1800mはなれている。この距離1800mを、船Aが分速30mで上り、船Bが分速105m(=船75m+流30m)で下るときの出会い算を考えればいい。
よって、AとBの速さの比は30:105=2:7、距離の比は速さの比と等しいから、AとBが2回目にすれちがうのは甲武橋から1800×⁷⁄₉=1400mはなれたところ