前回の記事の続きです。
すべての円は相似だという話を前回しましたが、同じく正方形もすべて相似になるため、正方形と組み合わせて円の面積比を求めさせるパターンの問題がときどき出されます。
たとえば次のような問題です。
大小の円の面積①（芝浦工業大学附属中2020）
右の図のように、小さい円の外側に正方形をかき、さらにその正方形の外側に大きい円をかきました。小さい円の面積が9.42㎠のとき、大きい円の面積は何㎠ですか。
小さい円の内側にも正方形を書いてみる（45°回転した形で書くとわかりやすい）。
すると小さい正方形と大きい正方形の面積比は1：2であるとわかる。小さい円と大きい円の面積比もこれと同じ1：2のはずだから、小さい円の面積が9.42㎠なら、大きい円の面積は18.84㎠
大小の円の面積②（洗足学園2022第3回）
下の図のように、円①の周上に4つの頂点がある正方形①をかきます。次に、正方形①の4辺に接するような円②をかき、この円②の周上に4つの頂点がある正方形②をかきます。この手順を繰り返して円と正方形を交互にかいていきます。円①の面積が400㎠のとき、円①と円④で囲まれた部分の面積は何㎠ですか。
正方形①と正方形②の面積比は1：½。同じく正方形②と正方形③の面積比も、正方形③と正方形④の面積比も1：½。つまり正方形①：正方形④＝1：⅛。
これに接する円についても同じことが言えるので 円①：円④＝1：⅛。この差の⅞が求める「円①と円④で囲まれた部分の面積」となる。
「円①の面積が400㎠」なので求める面積は400×⅞＝350㎠
