昨日に続き「整数の個数」がテーマです。
考えさせる問題の出題が増える流れのなか、そのまま学習教材として使えそうな入試問題もあります。たとえば次の問題では、昨日の記事では9進法や8進法を使って対応した問題ほぼそのまま（ケタ数が違うだけ）を、場合の数として解く解き方について美しく解説されており、これを学習教材に使わないのはもったいなさすぎ（現役中学教師が模範解答として示した信頼できる解法なので）と考え、紹介させていただきます。
ちなみに3問すべて今年の出題であり、いま「旬」の問題の一つと考えられ、来年以降も狙われやすいテーマとして十分対策しておきたいところです。
3桁の整数について、次の各問いに答えなさい。（共立女子中2022）
①234や987などの「1が使われていない整数」は、
百の位の数は2～9の8通り、
十の位の数は0、2～9の9通り、
一の位の数は0、2～9の9通り
が考えられます。1が使われていない整数は何個ありますか。
これらは同時に起こるので、積の法則より 8×9×9＝648個
②3桁の整数は全部で［あ］個あるので、123や311などの「1が使われている整数」は［い］個あります。
3桁の整数は100から999までの900個。ここから小問①で求めた「1が使われていない整数」648個を引くと、「1が使われている整数」は252個
③345や987などの「1と2が使われていない整数」は、
百の位の数は3～9の7通り、
十の位の数は0、3～9の8通り、
一の位の数は0、3～9の8通り
が考えられます。1と2が使われていない整数は［う］個あります。
これらは同時に起こるので、積の法則より 7×8×8＝448個
④1と2が使われていない整数は［う］個、「1が使われている整数」は［い］個、「2が使われている整数」は［え］個あるので、「1と2が使われている整数」は［お］個あります。
以上をまとめると「1と2が使われていない整数」は448個、「1が使われている整数」は252個、「2が使われている整数」は252個あるので、ベン図をイメージしながら式にすると
(252+252)－［お］+448＝900 より［お］＝52個
同じく学習教材に使わないのはもったいなさすぎる入試問題を取り上げた過去記事
