積分の平均値の定理って結局なに？

積分の平均値の定理とは

区間[a,b]で連続な関数 y=f(x) について

∫^b_af(x)dx=(b-a)f(c)
（a≦c≦b）

となるcが少なくとも１つ存在する．



青いところの面積と等しい面積の長方形ABB"A"がありますよ．
この長方形の上の辺と曲線の交点のx座標をcとするとa≦c≦bですよ．

というのが平均値の定理の意味するところです．


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パップス・ギュルダンの定理

ある平面図形を，それと交わらないその平面上の直線のまわりに回転して得られる回転体の体積は，
その図形の重心の描く円周の長さとの積に等しい．

たとえば，緑色の円を直線のまわりに一周させるとドーナツ形の回転体ができる．



この体積は，

緑色の円の面積×円の重心（中心）が描く円の円周の長さ

すなわち，

πr²×πR²


パウル・ギュルダン（Paul Guldin,1577年6月12日 - 1643年11月3日）
スイス生まれのオーストリアの数学者

グラーツ大学およびウィーン大学で数学の教授を務めた．

彼の数学上の業績はこのパップス・ギュルダンの定理と呼ばれる回転体の体積に関するものしかおそらく知られていない．

パップスの定理（中線定理）

三角形の辺BCの中点をMとすると，

AB²+BC²=2(AM²+BM²)

なお，線分AMを中線という．


アレキサンドリアのパップス（Pappus of Alexandria，4世紀の前半）
アレキサンドリア生まれのエジプトの数学者

8巻に及ぶ数学上の著作を残し，第七巻において、パップス＝ギュルダンの定理と呼ばれる定理を証明している．
また，三角形の中線定理（パップスの定理）など平面幾何学のいくつかの定理に彼の名前が残っている。

解と係数の関係

２次方程式ax²+bx+c=0（a≠0）の解をα，βとします．

ということはax²+bx+c=0は因数分解で

(x-α)(x-β)=0となって，x=α，βと出てきたことになります．

(x-α)(x-β)=0の左辺を展開してみると，

x²-(α+β)x+αβ=0

となります．

一方，ax²+bx+c=0の両辺をaで割ると，

x²+b/a×x+c/a=0

となります．

x²-(α+β)x+αβ=0
　↑
係数を比較！
　↓
x²+b/ax+c/a=0

xの係数を比較して，-(α+β)=b/a　→　α+β=-b/a

定数項を比較して，αβ=c/a

さあ，完成です．

解（α,β）と係数（a,b,c）の関係：
α+β=-b/a，αβ=c/a

---

同じように，３次方程式
ax³+bx²+cx+d=0（a≠0）
の解をα，β，γとします．

α+β+γ=-b/a
αβ+βγ+γα=c/a
αβγ=-d/a

となります．

自作でお手軽ログブック

ログブック，市販のもの業務日誌(ログ)を使ってるOMさんも近くにおります．

私は安上がりにするために普通のノートに線を引いて手書き．

ある程度まとまったところでExcelで自作したログ帳に転記（入力）してます．

これだとMacでもWindowsでも処理出来ますから...OpenOfficeでも読み書き出来ます．
マニアックな関数やマクロを使わないで，シンプルに作りました．




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小学校２年生で学習する漢字をドイツ語にする(4)

小学校２年生で学習する漢字160字をドイツ語にする
最後の40字

東 der West
答 die Antwort
頭 der Kopf
同 gleich
道 der Weg, die Bahn
読 lesen
内 inner
南 der der Süden
肉 das Fleisch
馬 das Pferd
売 verkaufen
買 kaufen, einkaufen
麦 der Weizen
半 halb
番 die Nummer
父 der Vater
風 der Wind
分 teilen, die Minute
聞 hören
米 der Reis
歩 laufen
母 die Mutter
方 die Richtung
北 der Nord
毎 pro
妹 die Schwester
万 zehntausend
明 klar
鳴 tönen, läuten
毛 das Haar
門 das Tor
夜 die Nacht
野 das Feld
友 die Freundin, der Freund
用 das Geschäft, für
曜 der Wochentag
来 kommen
里 die Heimat, die Meile
理 die Vernunft, der Grund, die Naturwissenschaft
話 das Gespräch

小学校２年生で学習する漢字をドイツ語にする(3)

小学校２年生で学習する漢字160字をドイツ語にする
さらに，次の40字

場 die Platz
色 die Falbe
食 essen
心 das Herz
新 neu
親 die Eltern
図 das Bild, die Figur
数 die Zahl
西 west
声 die Stimme
星 der Stern
晴 heiter
切 der Schnitt, schneiden
雪 der Schnee
船 das Schiff
線 der Linie
前 vor
組 die Klasse
走 laufen
多 viel
太 dick
体 der Körper
台 das Gestell
地 die Erde
池 der Teich
知 kennen
茶 der Tee
昼 der Mittag
長 lang
鳥 der Vogel
朝 der Morgen
直 gleich, direkt
通 vorbeigehen
弟 der Bruder
店 das Geschäft
点 der Punkt
電 elektrisch
刀 das Schwert
冬 der Winter
当 treffen, zutreffen

小学校２年生で学習する漢字をドイツ語にする(2)

小学校２年生で学習する漢字160字をドイツ語にする

次の40字

古 alt
午 der Mittag
後 nach
語 das Wort
工 bauen
公 öffentlich, amtlich
広 weit
交 verkehren
光 das Licht
考 denken
行 gehen
高 hoch
黄 gelb
合 vereinigen
谷 das Tal
国 der Staat
黒 schwarz
今 jetzt
才 das Talent
細 dünn
作 machen
算 die Rechnung
止 anhalten, stoppen
市 die Stadt
矢 der Pfeil
姉 die Schwester
思 glauben
紙 das Papier
寺 der Tempel
自 selbst
時 die Zeit
室 der Raum
社 die Gesellschaft
弱 schwach
首 der Hals
秋 der Herbst
週 die Woche
春 der Frühling
書 schreiben
少 wenig

小学校２年生で学習する漢字をドイツ語にする(1)

小学校２年生で学習する漢字160字をドイツ語にする

最初の40字

引 ziehen
羽 der Flügel
雲 die Wolke
園 der Garten
遠 fern
何 was, wer
科
夏 der Sommer
家 das Haus
歌 singen, das Lied
画 das Bild
回 das Mal
会 sehen, treffen
絵 das Bild
海 das Meer, die See
外 aus, außen
角die Ecke
楽 lustig, bequem, die Musik
活 lebhaft, aktiv
間 zwischen
丸 rund
岩 der Fels
顔 das Gesicht
汽 die Lokomotiv, das Dieselmotor
記 schreiben
帰 zurück
弓 der Bogen
牛 das Rind
魚 der Fisch
京 die Hauptstadt
強 stark
教 lehren
近 nahe
兄 der Bruder
形 die Form
計 die Rechnung, timen
元 der Grund, dieQuelle
言 sagen
原 das Feld, die Wiese
戸 die Tür

小学校１年生で学習する漢字をドイツ語にする

小学校１年生で学習する漢字をドイツ語にすると，たぶんこうなります．

一 eins
右 recht,rechts
雨 der Regen
円 der Kreis
王 der König
音 die Ton
下 unter
火 das Feuer
花 die Blume
貝 die Muschel
学 lernen
気 das Gas, die Atmosphäre
九 neun
休 die Rast, die Ruhe
玉 die Kugel, der Ball
金 das Gold, das Gelt
空 der Himmel,
月 der Mond, der Monat
犬 der Hund
見 sehen
五 fünf
口 der Mund
校 die Schule
左 link, links
三 drei
子 das Kind
四 vier
糸 der Faden
字 der Buchstabe
耳 das Ohr
七 sieben
車 das Auto, der Wagen
手 die Hand
十 zehn
出 aus
女 die Frau, die Dame
小 klein
上 ober
森 der Wald
人 man, die Leute
水 das Wasser
正 richtig
生 leben, roh
青 blau
夕 der Abend
石 der Stein
赤 rot
千 tausend
川 Fluss
先 vor
早 früh
草 das Gras
足 der Fuß
村 das Dorf
大 groß
男 der Mann, der Herr
竹 der Bambus
中 mittel
虫 das Insekt
町 die Stadt
天 der Himmel
田 das Reisfeld
土 die Erde
二 zwei, zwo
日 der Tag
入 in
年 das Jahr
白 weiß
八 acht
百 hundert
文 der Satz
木 der Baum
本 das Buch
名 der Name
目 das Auge
立 stehen
力 die Kraft
林 das Gehölz
六 sechs