区間[a,b]で連続な関数が，区間(a,b)で微分可能ならば，
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c)
（a＜c＜b）
をみたすcが少なくとも１つ存在する．
たとえば，a地点からb地点まで，120kmを2時間かけて進んだとします．
このとき，平均の速さ「距離の差÷時間の差＝{f(b)-f(a)}/(b-a)」
は120[km]/2[h]=60[km/h]となります．これは線分ABの傾きです．
ところが，一定の速さで進んでいなければ，つねに60[km/h]の速さではないです．
この場合，平均の速さ[km/h]に等しい「瞬間の速さ」f'(c)になるc地点がありますよ．
f'(c)はx=cでの接線の傾きです．
これが，微分の平均値の定理の意味するところです．
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