0.9999999999999999999999999999999... と無限に 9 が続くような実数を考えてみる。
では、この数は 1 に等しいのだろうか。
あるいは、限りなく 1 に近いものの、1 よりも極僅かに小さいのだろうか。
実は小学生にも分かる簡単な証明があるので、紹介しておこうと思う。
まず、1/3 = 0.33333333333333333333333333... であることは自明とする。
ここで、両辺に 3 をかける。
3 x 1/3 = 3 x 0.333...
1 = 0.999...
よって、0.999... は 1 に等しいことが証明された。
これは「数」と「無限」という数学的概念を巡る有名なネタだが、
ある特定の数を複数の方法で表すことが出来る、という純然たる事実を受け入れるのは意外と難しい。
また、無限という数学的概念の帰結は、しばしば日常的直感に反することが多い。
だが、0.999... が 1 に全く等しい、という事実を理解するだけで、
数学的感覚が強く刺激され、思考の柔軟性が大幅に拡張されるのではないかと思う。