確率２
前回は確率問題が出ますとだけ記事にしておりましたので、
今回は確率の求め方を説明します。
ではまず
ベターなサイコロで説明して行きます。
【基本】
サイコロの目は６つとします。
確率の基本は、分母にすべての起きる数となり、分子は出現を期待する数で計算されます。
よって、サイコロを１回振って、１が出る確率は？
１／６（約１７％）となります。
では。
サイコロを１回振って、１と６が出る確率は？
簡単ですよね？
２／６ → 約分して → １／３ （約３４％）となります。
ではでは。
サイコロを２個を１回振って、２個とも１が出る確率は？
まず、すべての起きる数は、１２ですよね。
いや違いますよ。
１２通りでは無く、組み合わせで考えます。
１個のサイコロの目が１だった場合、２個目のサイコロが出るとおりは下です。
１ と １
１ と ２
１ と ３
１ と ４
１ と ５
１ と ６
これだけで６通りです。
これが６通りあるので、６×６ ＝ ３６通りとなります。
１ と １
１ と ２
１ と ３
１ と ４
１ と ５
１ と ６
２ と １
２ と ２
２ と ３
２ と ４
２ と ５
２ と ６
３ と １
３ と ２
３ と ３
３ と ４
３ と ５
３ と ６
４ と １
４ と ２
４ と ３
４ と ４
４ と ５
４ と ６
５ と １
５ と ２
５ と ３
５ と ４
５ と ５
５ と ６
６ と １
６ と ２
６ と ３
６ と ４
６ と ５
６ と ６
ふう～３６通りです。
この中で、２個とも１の目となるのは、１通りしかありません。
１ と １
よって、サイコロを２個を１回振って、２個とも１が出る確率は？
１／３６ （約２．８％）となります。
この問題では、２個のサイコロを使いましたが、１個のサイコロを２回続けて振っても結果は同じです。
【応用】
赤玉３と白玉７を袋に詰めて、１個取り出した際に、赤玉である確率は？
簡単ですよね。
袋に入った玉の数は１０で、内、赤玉は３つあるので
３／１０ （約３０％）となります。
では。
同じ条件で、玉を２つ取り出して、少なくとも１つが赤玉の確率は？
袋に入った玉の数は１０です。
※問題文で「少なくとも」というのは、赤玉が２個の場合も含まれるということです。
まず、２個とも赤玉の確率を求ます。
１つ取り出した玉が赤玉の確率は、３／１０で
２つ目の玉を取り出し状況が変わってます。
１個減ってるので、赤玉２つ、白玉７つになってます。
この状況で、さらに赤玉が出る確率は、２／９です。
よって、２個とも赤玉の確率は、３／１０ × ２／９ です。
次に、１つだけ赤玉の確率を求めます。
最初に赤玉を引いた場合から求めますか。
１つ取り出した玉が赤玉の確率は、３／１０で
２つ目の玉を取り出し状況が変わってます。
１個減ってるので、赤玉２つ、白玉７つになってます。
この状況で、さらに白玉が出る確率は、７／９です。
よって、最初に赤玉をひいて次に白玉を引く確率は、３／１０ × ７／９ です。
次は最後に赤玉を引く場合
１つ取り出した玉が白玉の確率は、７／１０で
２つ目の玉を取り出し状況が変わってます。
１個減ってるので、赤玉３つ、白玉６つになってます。
この状況で、赤玉が出る確率は、３／９です。
よって、最初に白玉をひいて次に赤玉を引く確率は、７／１０ × ３／９ です。
少なくとも１つが赤玉の確率は？
２個とも赤玉の確率、３／１０ × ２／９ → ６／９０ → １／１５ ★
最初に赤玉をひいて次に白玉を引く確率は、３／１０ × ７／９ →約分→ ２１／９０ → ７／３０★
最初に白玉をひいて次に赤玉を引く確率は、７／１０ × ３／９ →約分→ ２１／９０ → ７／３０★
これらをすべて足したのが答えとなります。
１／１５ ＋ ７／３０ ＋ ７／３０ ＝ １６／３０ → ８／１５
とまあ、大変なことして計算してますが。
実は、こんなことしないで、逆の発想で求めるのが、常です。
この例で逆の発想というのは、
少なくとも１つが赤玉の確率は？では無く、
選んだ玉すべてが白玉の確率を求めて、１からその確率を引けばいいのです。
ではやってみましょう。
２個とも白玉を選ぶ確率は、
１個目の確率、７／１０です。
２個目は、白玉が１個減ってますので、６／９ → ２／３です。
７／１０ × ２／３ ＝ ７／１５
１からその確率を引きます。
１（１５／１５） － ７／１５ ＝ ８／１５ となります。
どうです？結果は同じですよね。
以上、確率でした。