軌跡の立体版です。
図を書くことにコストをかけず、頭の中で考えてみたいところです。
問題
半径3㎝の球の体積は，底面の半径3㎝，高さ6㎝の円柱の体積の3分の2に等しいとし，円周率は3.14とします。
⑴ 半径3㎝の球の体積を求めなさい。
⑵ 1辺の長さが15㎝の立方体の箱があります。この箱の内部を半径3㎝の球が自由に動き回るとき，動き回ることのできる部分の体積を求めなさい。
解説
3×3×3.14×6×2／3＝36×3.14＝94.2＋18.84＝113.04㎤
⑴ 113.04㎤
辺から3㎝の部分で動けないところがありますので、頂点を一角とする一辺3㎝の立方体、頂点から3㎝の立方体を除く、辺から3㎝のおうぎ形を底面とする柱から考えます。
まず8つの頂点にあるとき、これはそれぞれ球を8等分したものなので、合計は⑴より113.04㎤となります。頂点のぞく辺の部分は高さが15－3×2＝9㎝で底面が半径3㎝、中心角90度のおうぎ形となりますので、3×3×3.14×1／4×9×12＝243×3.14＝628＋125.6＋9.42＝763.02㎤です。
残りは15×15×15－3×3×3×8－3×3×9×12＝2187㎤となります。
以上より、求める体積は113.04＋763.02＋2187＝3063.06㎤となります。
⑵ 3063.06㎤