規則性、とは書きましたが、ちょっと違う感じです。
問題
何枚かのコインが入っている箱があります。この箱に魔法をかけるたびに，箱の中のコインの枚数が次のように増えます。
魔法Aをかけると，コインの枚数が2倍になります。
魔法Bをかけると，コインの枚数が3枚増えます。
たとえば，箱の中に5枚のコインが入っているときに，魔法をA，A，Bの順に3回かけると，箱の中のコインは23枚になります。
5枚→A→10枚→A→20枚→B→23枚
はじめに，箱の中にコインが1枚だけ入っています。この箱に魔法を何回かかけるとき，次の問いに答えなさい。
⑴ 魔法を5回かけると，箱の中のコインの枚数は何枚になりますか。考えられるもののうち，最も多い枚数と少ない枚数を答えなさい。
⑵ 魔法をかけることによって，箱の中のコインの枚数を何枚にできますか。できる枚数のうち，2以上で10以下の数をすべて書きなさい。
⑶ 魔法をどのようにかけてもできないコインの枚数のうち，2以上で2008以下の数は，全部で何個ありますか。
解説
魔法Aはもとの枚数が4枚以上のときに、魔法Bより増やすことができます。
そうすると、最も少なくするには、4枚目以上のときはBとする必要があり、このとき、AABBBとかけて13枚となるのが最小とわかります。最も多くするには3枚目以下はBとする必要があり、BAAAAとかけて64枚となるのが最大とわかります。
⑴ 最小 13枚 最大 64枚
まず、Aをかけることで2を作ることができます。その次はAで4、Bで5になります。
一方で、Bをかけると次は4になるので、3を作ることはできないことがわかります。
4の次にAをかけると8、Bをかけると7になります。
5の次にAをかけると10、Bをかけると8になります。
すなわち、6はつくれないことがわかります。
7の次にAをかけると14、Bをかけると10、8の次にAをかけると16、Bをかけると11より、9も作れないことがわかります。
よって、求める答えは2、4、5、7、8、10です。
⑵ 2枚 4枚 5枚 7枚 8枚 10枚
魔法Bに注目します。
魔法Bは差を3枚ずつにするので、魔法Bでは元の数次第で、3の倍数、3の倍数＋1、3の倍数＋2を作ることになります。⑵より、3を作ることができないため、3の倍数はつくれないことがわかります。一方で4をもとに3の倍数＋1、5をもとに3の倍数＋2を作ることはできます。
よって、ここでは2以上2008以下の3の倍数を求めることになりますので、2008÷3＝669個とわかります。
⑶ 669個