最難関校がこの手の問題を好むように思います。
問題
表裏のあるコインが何枚かあり，はじめはどのコインも表が上を向くようにして重ねます。
次の問いに答えなさい。
⑴ コインが3枚のとき，1回目の操作は一番上の1枚をひっくり返し，2回目の操作は上から2枚を重ねたままいっぺんにひっくり返し，3回目の操作は3枚全部を重ねたままいっぺんにひっくり返し，4回目の操作はふたたび一番上の一枚をひっくり返し，このあとも同じように，2枚全部，上の1枚，……とひっくり返して，操作を続けます。
(ア) 初めて全部のコインの表が上を向くのは，操作を何回したときですか。
(イ) 操作を100回したとき，表が上を向いているコインは何枚ありますか。
⑵ コインが2枚のとき，1回目の操作は上の1枚をひっくり返し，2回目の操作は2枚全部を重ねたままいっぺんにひっくり返し，3回目の操作はふたたび上の1枚をひっくり返し，このあとも同じように，2枚全部，上の1枚，……とひっくり返して，操作を続けます。操作を100回したとき，2枚のコインはそれぞれ，表裏のどちらの面が上を向いていますか。
解説
観察していくと、はじめ(表 表 表)、1回目(裏 表 表)、2回目(裏 表 表)、3回目(裏 裏 表)、4回目(表 裏 表)、5回目(表 裏 表)、6回目(裏 表 裏)、7回目(表 表 裏)、8回目(裏 裏 裏)、9回目(表 表 表)となります。
⑴(ア) 9回
(ア)より9回ごとに元に戻ることがわかります。
100÷9＝11…1より、100回目は1回目と同じとわかります。よって、(裏 表 表)となりますので、求める答えは2枚です。
⑴(イ) 2枚
観察していくとはじめ(表 表)、1回目(裏 表)、2回目(裏 表)、3回目(表 表)、4回目(裏裏)、5回目(表 裏)、6回目(表 裏)、7回目(裏 裏)、8回目(表 表)となり、8回ごとに元に戻ることがわかります。
よって、100÷12＝8…4より、100回目は4回目と同じとわかり、求める答えは(裏 裏)となります。
⑵ 1枚目 裏 2枚目 裏