⑵の後半はちょっと面倒ですが、その他はまあ中堅校、上位校でも出るかなというところです。
問題
次のように数をかけていきます。
まず1に2をかけて，その結果に3をかけて，さらにその結果に4をかけて，……，このように，1から順に次々と数をかけていきます。次の問いに答えなさい。
⑴ ある数までかけると，0が一の位から連続して4個並びます。ある数として考えられるもののうち，最も小さい数を答えなさい。
⑵ ある数までかけると，0が一の位から連続して7個並びます。ある数として考えられるもののうち，最も小さい数を答えなさい。また，1からその数までかけたとき，一の位から数えて8けた目の数字を求めなさい。
解説
下4桁が0になるためには1000＝2×2×2×2×5×5×5×5がかかっていることが必要です。このとき、素因数分解すると、5よりも2の方が確実に多いので、5の数を考えます。
そうすると、5、10、15、20で5が4つかかっています。よって、ある数は20とわかります。
⑴ 20
0が7個並ぶとき、5は7個あればよく、そうすると、5、10、15、20、25＝5×5、30までとなります。
1から30までかけ合わせた結果は、30までに2の倍数が15個、4の倍数が7個、8の倍数は3個、16の倍数が1個あるので、2が15＋7＋3＋1＝26個、3の倍数が10個、9の倍数が3個、27の倍数が1個なので、3が10＋3＋1＝14個、7の倍数が4個より7が1×4＝4個、11の倍数が2個より、11が1×2＝2個、13の倍数が2個より13が1×2＝2個、17、19、23、29は各1個ずつかけられたものであることがわかります。
このうち2は26－7＝19個かけたものを考えます。2はかけるごとに2、4、8、6、2、4、8、6をくり返すので、19回かけると、1の位は8になります。3は3、9、7、1、3、9、7、1をくり返すので、14回かけると、1の位は9になります。7は7、9、3、1となるので4回かけたときの1の位は1、11を2回かけたものは1、13を2回かけたものは9です。
よって、求める1の位の数は8×9×1×1×9×7×9×3×9＝3×7×8×9×9×9×9の1の位であり、9を4回かけると81×81と同じで、1の位は1、3×7×8の1の位は8より、求める解は8となります。
⑵ 最も小さい数 30 8けた目の数 8