今日も灘です。
そこまで目新しさがあるわけではありませんが、解いてみて、素直に面白いと感じられる学校です。
問題
4けたの数ABCDを考えます。ただし，A，B，C，Dには同じ数字があってもよいとします。数字の並びを逆にしたDCBAがABCDより大きい4けたの整数となるようなABCDは全部で( ① )個あります。また，DCBAがABCDと等しい4けたの整数になるようなABCDすべての合計は( ② )です。
解説
実際にどのような数があるかを考えると2232と2322のように百の位で決するものと、3214と4123のように千の位で決するものがあります。
⑴百の位で決するとき
千の位、一の位は同じ数になるので1から9の9通り
百、十の位は十の位が常に百の位より大きくなるので、(0，1)から(8，9)まで考えられます。
これは9＋8＋7＋…＋2＋1＝45通り
つまり、⑴の条件は45×9＝405個の数が考えられます。
⑵千の位で決するとき
千の位は一の位より常に小さいので、(1，2)から(8，9)まで考えられます。
これは1＋…＋8＝36通りになります。
百の位、十の位は0から9までのどのような数でも構わないので10×10＝100通りです。
このとき、⑵は36×100＝3600個となります。
よって、求める数は4005個となります。
① 4005個
1001＋1111＋1221＋…＋2002＋…＋9009＋…＋9999にて求めることができる。
これを見ると
千の位の和：1000×(1＋2＋…＋9)×10＝450000
百の位の和：100×(0＋1＋2＋…＋9)×9＝40500
十の位の和：10×(0＋1＋…＋9)×9＝4050
一の位の和：(1＋2＋…＋9)×10＝450
より、合計は450000＋40500＋4050＋450＝495000となります。
② 495000