2つ以上の周期をそろえることができれば、それほど難問ではありません。
問題
たけし君は「じゃんけんマシン」を持っています。この「じゃんけんマシン」は，スタートすると「じゃんけん」のグー，チョキ，パーの手を1秒ごとにこの順でくり返し出していく機械です。つまり，スタートしてから1秒後にグーから順に手を出していきます。たけし君がこの「じゃんけんマシン」と「じゃんけん」をするとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，「じゃんけん」とは2人がグー，チョキ，パーの3種類のうちいずれか1種類の手を同時に出し，
グーはチョキに勝ちパーに負ける
チョキはパーに勝ちグーに負ける
パーはグーに勝ちチョキに負ける
というルールで勝ち負けを決めるゲームで，同じ手を出したときをあいこといいます。
⑴ 「じゃんけんマシン」は，スタートしてから200秒後にグー，チョキ，パーのうちどの手を出しますか。
⑵ たけし君は「じゃんけんマシン」に，勝ち，勝ち，負け，あいこをこの順で繰り返すように手を出すとすると，スタートしてから2009秒の間にパーは何回出しますか。
解説
3回ずつの繰り返しですので、200÷3＝66…2と、66回グー、チョキ、パーをくり返してグー、チョキとなります。
なので、求める答えはチョキです。
⑴ チョキ
マシンの周期の3と、たけし君の勝ち負けあいこの周期の４の公倍数である12の周期で考えます。
2009÷12＝167…5と周期を167回繰り返し、5回残ることがわかります。
12回におけるたけし君の出し手は、グーをg、チョキをc、パーをpとすると以下の通りです。
p g g g g c c c c p p p
以上より、1周期で4回パーを出し、5回目までにパーを1回出すので、4×167＋1＝699回パーを出すことになります。
⑵ 669回