入り口はなかなかむつかしい問題ですが、絞り込んでいけば、案外当てはまる数が少ないことに気づきます。
問題
2桁の数ABがあります。間に0を入れて3桁の数A0Bを作ると，この数はABで割り切れます。また，両端と間に数字Cを入れて5桁の整数CACBCを作ると，この数もABで割り切れます。このとき，5桁の整数CACBCは□です。ただし，A，B，Cはすべて異なる数字で，どれも0ではないとします。
解説
AB×10＝AB0より、A0BはAB×9以下の数であることがわかります。
またA0B－AB＝○○0となることから、Bは偶数でかつ、A0B＝AB×5＋AB＝AB×6と求まります。
このとき間が0となる3桁の整数で、2桁の整数を6倍したものは102、108、204、306、402、408、504で、これらのとき、2桁の数はそれぞれ17、18、34、51、67、68、83となります。Bが偶数となること、AB×6＝A0Bより、あてはまるのは、18のみとなります。
以上より次は18の倍数となるC1C8Cを考えます。
このとき、各桁の和C×3＋9が9の倍数かつCが偶数になる必要があります。
以上の条件を満たすのはC＝6のみです。
よって、求める数は61686です。
61686