今では定番の観のあるタイプの因数の問題です。
中堅校や帰国入試でも聞かれますので覚えておきたいところ。
問題
ある整数Aをある整数Bで，次の例のように続けて何回割り切れるかを数えます。ただし，割り切れるとは，商が整数で余りが0のときとします。
（例）
A＝120，B＝5のとき
120÷2＝60，60÷2＝30，30÷2＝15，15は2で割り切れない 回数は3回
A＝120，B＝5のとき
120÷5＝24，24は5で割り切れない 回数は1回
A＝121，B＝5のとき
121は5で割り切れない 回数は0回
このとき，次のそれぞれのAとBについて，回数を求めなさい。
⑴ A＝720，B＝2
⑵ A＝1×2×3×4×5×6×7×8×9×10（1から10までの整数をすべてかけた数），B＝12
⑶ A＝1×2×3×……×124×125（1から125までの整数をすべてかけた数），B＝10
解説
720＝2×2×2×2×3×3×5なので、2で4回割り切れます。
⑴ 4回
A＝1×2×3×4×5×6×7×8×9×10を素数だけの式にすると以下の通りです。
A＝2×3×(2×2)×5×(2×3)×7×(2×2×2)×3×3×(2×5)
この中に、12＝2×2×3は全部で4組ありますので、12で4回割り切れることが分かります。
⑵ 4回
B＝2×5、そして、Aの式には2の方が多く含まれますので、5がどれだけ含まれるかが問題になるとわかります。
1から125までに
5の倍数…125÷5＝25個
5×5＝25の倍数…125÷25＝5個
5×5×5＝125の倍数…125÷125＝1個
合計25＋5＋1＝31個とわかります。
⑶ 31回