N進数でやると数えやすい問題です。
問題の数からしてもN進数を使うことが誘導されている印象を受けます。
問題
1、3、9、27、81の5つの数があります。これらの中から異なる数を2つ以上足しあわせてできる数を、小さい順に左から並べた数の列は次のようになります。
4、10、12、13、28、30…
この数の列について、次の各問いに答えなさい。
⑴ 左から10番目の数を答えなさい。
⑵ 全部で何個の数が並んでいますか。
⑶ 111は左から何番目の数ですか。
解説
問題の数は全て3を何回かかけた数です。
なので、いずれも3進数で表現してみます。
1、10、100、1000、10000
このとき、4、10、12、13、28、30も3進数で表現しますと、以下のとおりです。
4＝3＋1より11
10＝3×3＋1より101
12＝3×3＋3より110
13＝3×3＋3＋1より111
28＝3×3×3＋1より1001
30＝3×3×3＋3より1010
つまり、以下のように考えることができます。
2桁…11
3桁…101 110 111
4桁…1001 1010 1011 1100 1101 1110 11111
5桁
…10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111
10番目は1110なので1000＋100＋10より、27＋9＋3＝39
⑴ 39
合計は上図より1＋3＋7＋15＝26個
⑵ 26個
111＝81＋27＋3なので10000＋1000＋10＝11010にあたり、これは上図より21番目とわかります。
⑶ 21番目