ややこしそうですが、やってみると案外何とかなるものです。
問題
AさんはICカードを使ってバスに乗ります。ICカードとは，チャージ金額が記録されているカードで，乗車するごとに運賃と同じ額だけチャージ金額が減るものです。正規運賃は210円で，正規運賃で4回乗車するごとに次の1回は割引運賃で乗車できます。1回目の割引運賃は100円，2回目の割引運賃は90円，3回目の割引運賃は80円，……というように割引運賃は回を追うごとに10円ずつ額が減っていき，0円になったらそれ以降は，4回乗車するごとに次の1回は0円，すなわち無料で乗車できます。
⑴ Aさんは1回もチャージすることなく，このICカードで何回まで乗車できますか。
⑵ はじめて0円で乗車できるまでに，Aさんは何回チャージすることになりますか。
⑶ このICカードで2012回乗車するまでに，Aさんは何回チャージすることになりますか。
解説
3000÷210＝14…60ですので、最低14回は乗車できます。
さらに、このとき、5回目で100円、10回目で90円の割引運賃があることから、14回乗った時、実際の残額は(210－100)＋(210－90)＋60＝290円となります。
そうすると、15回目の運賃210円、16回目の運賃80円が残額でちょうど賄えますので、実際には14＋2＝16回乗れることがわかります。
⑴ 16回
初めて0円の割引運賃で乗れるのは11回目の割引のときです。このときは初めから11×5＝55回目に当たります。
そうすると、55回目までの運賃は11×4×210＋(100＋90＋80＋70＋60＋50＋40＋30＋20＋10)＝9790円とわかります。
9790円になるまでに、9790―3000－5000＝1790円より、2回チャージすることがわかります。
⑵ 2回
56回目以降は4回乗車するごとに1回無料となります。
このとき、(2012―55)÷5＝391より、56回目以降、2012回目までに391回無料乗車できることがわかります。
よって、2012回目までの運賃の合計は9790＋210×(2012―55－391)＝338650円とわかります。
求める数は(338650－3000)÷5000＝67…650より、67＋1＝68回チャージすることがわかります。
⑶ 68回