1秒前を考えること、そしてその考えを積み重ねていくことが決め手になります。
問題
下の図のような，正三角形4つで囲まれた立体があります。点Pははじめ頂点Aにあり，1秒ごとに他の3つの頂点のうちの1つに移動します。
例えば，2秒後に点Pが頂点にあるような動き方は
A→B→A，A→C→A，A→D→A
の3通りあります。
⑴ 3秒後に点Pが頂点Aにあるような動き方を，上の例にならってすべて答えなさい。また，3秒後に点Pが頂点B，C，Dにあるような動き方は，それぞれ何通りありますか。
⑵ 4秒後に点Pが頂点Aにあるような動き方は何通りありますか。
⑶ 5秒後に点Pが頂点Aにあるような動き方は何通りありますか。
解説
3秒後に頂点Aにいる動き方は、2秒後に頂点B、C、Dにいることが必要です。
2秒後に頂点Bにいるためには、1秒で頂点C、Dに向かう必要があることから、2通りとわかり、同様に頂点C、Dに2秒後にいることができるのも2通りとわかります。
そうすると、2秒後に頂点B、C、Dにいるのは2＋2＋2＝6通りであるとわかり、3秒後に頂点Aにいる動き方は6通りと求まります。
同様に、3秒後、頂点B、C、Dにいる動き方を考えると、それぞれ3＋2＋2＝7通りとわかります。
⑴ 頂点A 6通り 頂点B、C、D 7通り
3秒後に頂点B、C、Dにいればよいので、7＋7＋7＝21通りと求まります。
⑵ 21通り
5秒後に頂点Aにいるためには、4秒後に頂点B、C、Dにいる必要があります。
そうすると、⑴より、それぞれ6＋7＋7＝20通りとわかります。
よって、5秒後に頂点Aにいるのは20＋20＋20＝60通りとわかります。
⑶ 60通り