もれなく、だぶりなく数えられるか、といったところです。
問題
Aを1より大きい整数とします。1からAまでのすべての整数を書いたとき，書いてある数字の1の個数を＜A＞とあらわします。例えばA＝19のとき，＜19＞＝12です。
＜199＞と＜2021＞をそれぞれ求めなさい。
解説
＜199＞について以下のように数えます。
1がひとつ以上
1□…10個、□1…8個、1□□…100個
計119個
1がふたつ以上
11…1個
1□1…9個 11□…9個
111…1個
計20個
１が３つ以上
111の1個
以上より＜199＞＝140とわかります。
＜2021＞について
＜199＞以降を数えます。
1がひとつ以上
□1□…72個、□□1…72個
□11…8個
1□□□…1000個
2001、2010～2019、2021…12個
以上より72＋72＋8＋1000＋12＝1164個
1が2つ以上
□11…8個
11□□…81個、1□1□…81個、1□□1…81個
111□…9個、11□1…9個、1□11…9個
1111…1個
2011の1個
以上より8＋81×3＋9×3＋1＋1＝280個
1が3つ
1□11…9個、11□1…9個、111□…9個
1111…1個
以上より9×3＋1＝28個
1が4つ
1111の1個
よって、計140＋1164＋280＋28＋1＝1613となります。
＜199＞＝140 ＜2021＞＝1613