大学、高校入試では頻出です。
書き出しでもできなくはないですが、予習シリーズにコンビネーションの考え方が載っている昨今ですので、そのやり方で説明します。コンビネーションの数字が小さくならないことはご愛嬌。
問題
2021の各位の和は2＋0＋2＋1＝5です。このように，各位の数の和が5である4桁の整数は，2021を含めて全部で①□個あります。そしてそれらの整数の中で2021は小さいほうから数えて②□番目です。
解説
各位の数の和が5となる4桁の数を○、｜で表します。
たとえば、1004は○｜｜｜○○○○、1040なら○｜｜○○○○｜と表します。
2021ならば、○○｜｜○○｜○となります。
このとき、求める数は4桁の数であるために、左端に○が必ず1つあります。そして、残りは○4個と｜3本の並び替えで表せることがわかりますので、求める答えは7C3＝35通りとわかります。
① 35通り
まず、1000代のものを考えます。
○|までが決まっていますので、あとは○4個と|2本の並び替えになり、6C4＝15通りとわかります。
2000代は2003、2012、2021となるので、2021は2000代で3番目とわかり、全体で15＋3＝18番目とわかります。
② 18番目