少し手間ですが、約数の数の求め方を知っていれば、そんなに大変な作業ではありません。凝ったことを考えるより、まっすぐ試したほうが解くのは早いかもしれません。
解説が長いですが、実際に解く分には、ここまで書かなくても良いのです。
問題
整数Xのうち1以外の数の約数の個数を【X】，1以外の約数をすべて足したものを＜X＞と表すことにします。
たとえば，2021の約数は，1，43，47，2021なので，【2021】＝3，＜2021＞＝2111です。
① ＜A＞÷【A】が整数にならない2けたの整数Aのうち，最大のものは□です。
② 【B】＝2，＜B＞＝1406のとき，B＝□です。
③ 2を10回かけた数をCとするとき，【C】＝□です。
④ 60以下の整数のうち【D】＝3となる整数Dは全部で□個あります。
解説
以下、n、mは素数とします。
99から調べてみます。
99＝3×3×11なので、約数は1、3、9、11、33、99の6個とわかります。
そうすると、【99】＝5、＜99＞＝155なので、＜99＞÷【99】は整数になります。
98＝2×7×7なので、約数は1、2、7、14、49、98の6個とわかります。
そうすると、【98】＝5、＜98＞＝170なので、＜98＞÷【98】は整数になります。
97は素数ですので、【97】＝1、＜97＞＝97なので、＜97＞÷【97】は整数になります。
96＝2×2×2×2×2×3なので、約数は1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96の12個とわかります。【96】＝11、＜96＞＝251なので、＜96＞÷【96】は割り切れません。
よって、求める数は96とわかります。
※素数である97は【素数】＝1が確実なので、本当は実験するまでもありません。
① 96
【B】＝2より、B＝n×nとわかります。そうすると、＜B＞＝n＋n×n＝n×(n＋1)とわかります。n×(n＋1)＝1406になるnは、上2桁が14より、40未満の数となり、下1けたが6になることを利用して見当をつけるとn＝37とわかります。
よって、B＝1369となります。
② 1369
2を10回かけたので、Cの約数の個数は1と2を何個かけたかで11個となります。よって【C】＝10とわかります。
③ 10
【D】＝3となるとき、⑴D＝n×n×n、もしくは⑵D＝n×mとなります。
⑴について
n＝2、3となります。…2個
⑵について
n＝2のとき
m＝3、5、7、11、13、17、19、23、29となります。…9個
n＝3のとき
m＝5、7、11、13、17、19となります。…6個
n＝5のとき
m＝7、11となります。…2個
n＝7以上はあてはまる数がありません。
以上、⑴、⑵より、19個とわかります。
④ 19個