面倒な問題ですが、基本的には単純な作業です。
難関中の問題に取り組むためには、こうした作業に耐えることができる根気が欲しいところ。
問題
ある商店では，消費税は品物の値段に3％の税率をかけて計算します。ただし，1円未満は切り捨てとします。
たとえば，99円の品物を買うためには，99円の3％は2.97円ですから消費税は2円となり，合計101円支払うことになります。また，100円の品物を買うには，100円の3％は103円ですから，合計103円支払うことになります。つまり，消費税を加えて，ちょうど102円を支払って買う品物はないということになります。
⑴ 100円の品物は，消費税が3円となる1番安い品物ですが，消費税が4円となる1番安い品物の値段はいくらですか。
⑵ 102円のように，この商店では消費税を加えて支払うことのありえない金額の中で，1番安い金額から，102円も含めて7番目に安い金額までそれぞれ求めなさい。
⑶ そのような金額の中で，安いものから順に数えて100番目の金額はいくらですか。
解説
消費税が4円になるのは、3％が4円以上5円未満のときなので、4÷0.03＝133.33…円以上のものが消費税4円になります。つまり133＋1＝134円が求める金額となります。
⑴ 134円
実際に消費税の金額ごとに支払う金額を考えます。
消費税が0円の場合…3％は3円未満
1÷0.03＝33.3…→33円以下
支払金額は33円以下
消費税が1円の場合…3％は1円以上2円未満
1÷0.03＝33.3…→34円以上2÷0.03＝66.6…→66円以下
支払金額は34＋１＝35円以上67円以下
このとき、34円を支払うことはありえません。
消費税が2円の場合…3％は2円以上3円未満
2÷0.03＝66.6…→67円以上3÷0.03＝100→99円以下
支払金額は67＋2＝69円以上99＋2＝101円
このとき、68円は支払うことがありえません。
消費税が3円の場合…3％は3円以上4円未満
3÷0.03＝100円以上4÷0.03＝133.3…→133円以下
支払金額は100＋3＝103円以上133＋3＝136円以下
このとき、102円は支払うことがありえません。
消費税が4円の場合…3％は4円以上5円未満
4÷0.03＝133.3…→134円以上5÷0.03＝166.6…→166円以下
支払金額は134＋4＝138円以上166＋4＝170円以下
このとき、137円は支払うことがありえません。
消費税が5円の場合…3％は5円以上6円未満
5÷0.03＝166.6…→167円以上6÷0.03＝200→199円以下
支払金額は167＋5＝172円以上199＋5＝204円以下
このとき、171円は支払うことがありえません。
消費税が6円の場合…3％は6円以上7円未満
6÷0.03＝200→200円以上7÷0.03＝233.3→233円以下
支払金額は200＋6＝206円以上233＋6＝239円以下
このとき、205円は支払うことがありえません。
消費税が7円の場合…3％は7円以上8円未満
7÷0.03＝233.3…→234円以上8÷0.03＝266.6→266円以下
支払金額は234＋7＝241円以上266＋7＝243円以下
このとき、240円は支払うことがありえません。
⑵ 34円 68円 102円 137円 171円 205円 240円
前問より、消費税が1円増えるごとに、支払うことのない金額が1つずつあることがわかります。
そうすると、100番目に支払えない金額は消費税100円のときの最小金額－1円とわかります。
この金額は100÷0.03＝3333.3…→3334＋100－1＝3433円とわかります。
⑶ 3433円