本来、2021のまっさらな問題を扱うべきですが、本業の業務が忙しいので、ご勘弁願います。
こうした問題を昔は力業で解いていたらしいので、これも力業で解けるようになっています。模範解答は現代風に作りましたが、これをあえて力業で解くことで、因数の問題の根本的な考え方を身につけるのも良いかもしれません。
問題
ある整数aのすべての約数の個数を《a》と書くことにします。たとえば《6》＝4となります。
(ア) 《12》＝□
(イ) aが10以上20以下の整数のとき，《a》＝2となるものをすべてあげると□です。
(ウ) aを5以上10以下の整数とします。2×《8》＋《a》＝《24》＋《4》がなりたつaを求めると□となります。
解説
aの約数の数はa＝bのn乗×cのm乗のとき、（n＋1）×（m＋1）で求まることを利用します。
12の約数の個数は12＝2×2×3より、（2＋1）×（1＋1）＝6個とわかります。
(ア) 6個
《a》＝2のとき、aは1と自分以外の約数を持たない数、すなわち素数であることがわかります。10以上20以下の素数は11、13、17、19です。
(イ) 11、13、17、19
8＝2×2×2より《8》＝4、24＝2×2×2×3より《24》＝8、後述の理由から《4》＝3とわかります。
このとき、《a》＝3となりますが、このようなaは素数を2回かけた数、すなわち素数の2乗になります。ある数を2回かけてできる数を平方数といいますが、ここでaにあたるのは素数の平方数になります。
5以上10以下の整数の中で、素数の平方数は9のみです。
(ウ) 9