⑶において、間が120度、240度、360度のそれぞれの場合のイメージができるかが肝腎です。
問題
一定の速さで一つの円周をまわる3つの点A，B，Cがあります。AとBは同じ向きに，CはA，Bとは反対の向きにまわります。3つの点A，B，Cが同じ地点から1時ちょうどに出発しました。AとCは1時2分に，BとCは1時7分に，出発後初めて出会いました。また，Aは1時2分30秒に初めて元の地点に戻りました。
⑴ Bが初めて元の地点に戻る時刻を求めなさい。
⑵ AがBに初めて追いつく時刻を求めなさい。
⑶ A，B，Cが初めて正三角形の頂点になる時刻を求めなさい。
解説
まず、AはCが2分できた道のりを30秒で進みますので、AとCの速さの比は4：1とわかります。中心角で速さを考えると、Aは毎分360÷2.5＝144°となり、Cは毎分144÷4＝36°とわかります。
すると、Bは7分で360－36×7＝108°進むので、Bは毎分108÷7＝108／7°となります。
よって、Bは360÷108／7＝70／3分＝23分20秒で1周するとわかります。
⑴ 1時23分20秒
AとBの進んだ道のりの差が360°となればよいので360÷(144－108／7)＝14／5＝2分48秒後とわかります。
⑵ 1時2分48秒
3点が正三角形になるとき、点Cは点Aと120°の間があります。このとき、以下のように考えられます。
120÷(144＋36)＝40秒
この後、40秒、80秒、160秒、200秒、280秒…経つと、A、Cの間は120°です。
点Aと点Bについても120°の間が空くときを考えます。
120÷(144－108／7)＝56秒
この後、56秒、112秒、224秒、280秒…経つと、A、Bの間は120°です。両者が重なる280秒後において、B、Cはまだ出会っておらず、点B、点Cは重ならないことが分かりますので、求める答えは280秒後、つまり1時4分40秒とわかります。
⑶ 1時4分40秒