問題づくりの難しさを感じる問題です。
問題
ツル，カメ，トンボの数を数えました。かりにツルの数をカメの数とし，カメの数をトンボの数とし，トンボの数をツルの数とすると，足の本数の合計は200本になります。一方，実際の足の合計もやはり200本になります。実際のツルの数として考えられるものをすべて答えなさい。ただし、ツル、カメ、トンボの数はすべて1以上とします。なお、ツル、カメ、トンボの足の本数はそれぞれ2本，4本，6本です。
解説
ツルをa匹、カメをb匹、トンボをc匹とすると、以下のような式が成り立ちます。
2×a＋4×b＋6×c＝200…①
4×a＋6×b＋2×c＝200…②
aとbで考えられるようcの消去を行うため、②×3－①をします。
②×3－①
10×a＋14×b＝400
このとき、14×bも1桁目が0である必要がありますので、bは5の倍数になる必要があります。
b＝5のとき、a＝33、b＝10のとき、a＝26、とbが5ずつ増えるごとにaは7ずつ減りますので、a＝33、26、19、12、5
33、26、19、12、5
他の解
読み方次第では、②式は以下のようになります。
6×a＋2×b＋4×c＝200…③とします。
ここでbの消去をはかって、③×2－①をします。
10×a＋2×c＝200
5×a＋c＝100
このとき、考えられるaは19以下とわかります。
また、2×a＋6×cは196以下でなければならないため、aは15以上とわかります。
よって、a＝15、16、17、18、19
15、16、17、18、19