本日は、整数問題を扱います。
スマートな解き方も存在するとは思いますが、今回は、少し苦しくてもこうした問題に立ち向かえるよう、泥臭い取り組み方を紹介します。
問題
3つの整数，800，1376，2144があります。これらの整数をそれぞれ整数Nで割ったあまりはすべて等しくなり，また3つの整数800，1376，2144の和はNで割り切れます。このような整数Nのうち最も大きいものを求めなさい。
解説
余りをaとします。そうすると以下の式が成り立ちます。
800＝N×○＋a…①
1376＝N×△＋a…②
2144＝N×□＋a…③
このとき、②－①は576＝N×(△－○)、③－②は768＝N×(□－△)、③－①は1344＝N×(□－○)とわかります。つまり、Nは576、768、1344の公約数とわかります。
576＝192×3、768＝192×4、1344＝192×7より、Nは192の約数の中にあることがわかります。
次に、800、1376、2144の和がNの倍数となることから、a×3＝Nもしくはa×3＝N×2とわかります。
a×3＝Nのとき
N＝192、a＝64
1376－64＝1312、2144－64＝2080は192の倍数とならず、不適。
N＝96、a＝32
800－32＝768、1376－32＝1344、2144－32＝2112のいずれも192の倍数になるので可
a×3＝2×Nのとき
N＝192、a＝128
800－128＝672は192の倍数とならず、不適
以上より、Nの最大の数は96とわかります。
96