この問題解いてみました。
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/001/134322642624413200303.gif
解答
ｘｙ座標上の点（１，０）をα回転させると、点（cosα，sinα）へ移る。―――①
点（０，１）をα回転させると、点（－sinα，cosα）へ移る。―――②
（単位円を描いて考えれば簡単に分かります。）
ところで、全ての点は（ｘ，ｙ）＝ｘ（１，０）＋ｙ（０，１）―――③と表せる。
今、α回転した先の点を（ｘ’，ｙ’）とすると、①，②を③に代入する事により、
（ｘ’，ｙ’）＝ｘ（cosα，sinα）＋ｙ（－sinα，cosα）―――④
ここで、（ｘ，ｙ）を極座標表示すると、（ｘ，ｙ）＝（ｒcosβ，ｒsinβ）―――⑤
⑤を④に代入すると、（ｘ’，ｙ’）＝ｒcosβ（cosα，sinα）＋ｒsinβ（－sinα，cosα）＝ｒ（cosβcosα，cosβsinα）＋ｒ（－sinβsinα，sinβcosα）＝ｒ（cosβcosα－sinβsinα，cosβsinα＋sinβcosα）―――⑥
ところで、点（ｘ’，ｙ’）は（ｒcosβ，ｒsinβ）をα回転させた座標なので、（ｘ’，ｙ’）＝（ｒcos(β＋α)，ｒsin(β＋α)）―――⑦でもある。
⑥，⑦より、ｒ（cos(β＋α)，sin(β＋α)）＝ｒ（cosβcosα－sinβsinα，cosβsinα＋sinβcosα）
∴cos(β＋α)＝cosβcosα－sinβsinα，sin(β＋α)＝cosβsinα＋sinβcosα
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，cos(α＋β)＝cosβcosα－sinβsinα
よって、導けた。
おまけ